Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, вызывающие деформации сдвига. В силу закона парности такие же касательные напряжения будут возникать и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Наличие касательных напряжений в продольных сечениях подтверждается появлением в деревянных балках при поперечном изгибе продольных трещин.
Перейдем к выводу формулы для вычисления касательных напряжений при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения. Эта формула была выведена в 1855 г. Д.И. Журавским. Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в прошлом веке при строительстве мостов широко применялись деревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.
Рассмотрим балку прямоугольного сечения bxh (рис. 6.19). Пусть в поперечном сечении 1 действует изгибающий момент М к, а в сечении 2, отстоящем от первого на бесконечно близкое расстояние dz - изгибающий момент М и + dM„. На расстоянии у от нейтральной оси проведем продольное сечение ас и рассмотрим равновесиеэлементарного параллелепипеда атпс , имеющего измерения
Равнодействующую нормальных внутренних сил, действующих на грань am , обозначим N u а действующих на грань сп - N 2 ; переменные нормальные напряжения в этих гранях обозначим соответственно cTi и 02. В поперечном сечении балки выделим бесконечно узкую полоску cL4, находящуюся на переменном расстоянии у от нейтральной оси. Тогда
Предположим, что касательные напряжения в поперечном сечении прямоугольной балки параллельны поперечной силе Q и по ширине сечения распределены равномерно. Полагая, что в продольном сечении касательные напряжения т также распределены равномерно, определим касательную силу dF, действующую на грани ас: d F- xbdz.
Составим уравнение равновесия параллелепипеда атпс
:IZ = 0; N x
+ dF - N 2
= 0, откуда dF = N 2 - N x ,
или
Рис. 6.19
Выражение J ydA есть статический момент заштри-
хованной площади А у сечения относительно нейтральной оси; обозначим его через S. Тогда
откуда
Так как, согласно теореме Журавского,
Это равенство называется формулой Журавского.
Формула Журавского читается так: касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно нейтральной оси части сечения , лежащей выше рассматриваемого слоя волокон , деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.
Выведенная формула дает значение касательных напряжений в продольных сечениях, но по закону парности в точках поперечного сечения, лежащих на линии пересечения продольной и поперечной плоскостей, будут действовать одинаковые по модулю касательные напряжения.
Определим закон распределения касательных напряжений для балки прямоугольного сечения (рис. 6.20, а). Для слоя волокон ad:
при у = ±И/ 2 т = 0;
при у = 0 т = т тах = 2Q/{2bh) = 3Q/2A = Зх сред /2.
Таким образом, в верхнем и нижнем слоях волокон касательные напряжения равны нулю, а в волокнах нейтрального слоя они достигают максимального значения. Законы распределения касательных напряжений по ширине и высоте прямоугольного сечения показаны на рис. 6.20, а.
С некоторым приближением формулу Журавского можно применять для вычисления касательных напряжений в балках с поперечными сечениями другой формы. Рассмотрим консольную балку корыт- ного профиля, сечение которой показано на рис. 6.20, б , изгибаемую силой У 7 на конце.
Плоскостью 1-1 отсечем часть полки площадью А. Так как изгиб балки поперечный, то в плоскости 1-1 будут действовать продольные касательные силы и напряжения x z (по аналогии см. рис. 6.19). По закону парности в поперечном сечении полки возникнут касательные напряжения х х той же величины и их можно вычислить по формуле Журавского
где Q - поперечная сила в сечении балки; S x - статический момент отсеченной площади А относительно оси х (нейтральная ось), S x = AhJ2 ; / - момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; t - толщина полки.
Рис. 6.20
Если толщина полки постоянна, то касательные напряжения х х изменяются по линейному закону; тогда
Равнодействующая R x касательных напряжений в верхней полке равна
На нижнюю полку действует такая же сила R, но направленная в противоположную сторону. Две силы Ri образуют пару с моментом М к = Rh x . Следовательно, в сечении наряду с вертикальной поперечной силой Q = Ri возникает также крутящий момент М к, который скручивает балку. R 2 - равнодействующая касательных напряжений в стенке балки.
Чтобы деформации кручения не было, внешнюю силу F следует приложить в какой-то точке В на расстоянии а от середины стенки и соблюсти условие Fa = М к. Отсюда а = M K /F. Такая точка В называется центром изгиба. Если сечение балки имеет две оси симметрии, то центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.
Без вывода приведем формулу для определения максимальных касательных напряжений у балки круглого сечения:
Касательные напряжения в балках соответствуют деформации сдвига, в результате чего плоские поперечные сечения при поперечном изгибе не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а искривляются (рис. 6.21).
Рис. 6.21
Большинство балок рассчитывают только по нормальным напряжениям; но три вида балок следует проверять и по касательным напряжениям, а именно:
- 1) деревянные балки, так как древесина плохо работает на скалывание;
- 2) узкие балки (например, двутавровые), так как максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
- 3) короткие балки, так как при относительно небольших изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровом сечении определяется по формуле Журавского. В таблицах сортамента приведены значения статического момента площади полусечения для двутавров и швеллеров.
Пример 6.7
Консольная балка, жестко защемленная одним концом в заделке, состоит из двух деревянных брусьев квадратного сечения, соединенных на другом конце болтом (рис. 6.22). К свободному концу балки приложена сила R = 15 кН. Длина балки /= 4 м. Определить диаметр стержня болта, если допускаемое напряжение среза [т ср ] = 120 МПа. Размер сечения брусьев а = 20 см.
Рис. 6.22
Решение. Во всех поперечных сечениях балки кроме изгибающего момента возникает поперечная сила Q = R = 15 кН и соответствующие ей касательные напряжения сдвига, вычисляемые по формуле Журавского, причем максимальные напряжения т тах возникают на нейтральной оси, то есть в месте соприкосновения брусьев. По закону парности такие же касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Тогда
где Q - поперечная сила: Q = 15-10 3 Н; S - статический момент площади полусечения балки относительно нейтральной оси: S = а 2 -а/2 = а г /2 ; I- момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси: I - а{2а) 3 /2-2a 4 /3 ; b - ширина сечения: b = а.
Подставив эти выражения в формулу Журавского, имеем т тах =3()/(4я 2), а подставляя числовые значения и учитывая размерности, получаем
Сила сдвига F = х тах А сд, где площадь сдвига А сд = al. Следовательно F = = Хтах а I = 0,282 10 6 0,2 4 = 226 10 3 Н. Сила F, действующая на стыке балок, стремится срезать болт. Найдем необходимый диаметр d стержня болта из расчета его на срез: F/A Cf) А ср - площадь среза, равная площади поперечного сечения стержня болта: Д. р = лх/ 2 /4
Подставив это выражение в расчетную формулу, имеем,
При поперечном изгибе, помимо изгибающего момента, в поперечном сечение имеется также и поперечная сила, которая является результирующей элементарных усилий, действующих в плоскости сечения. Т.е. помимо нормальных напряжений возникают и касательные напряжения.
Касательные напряжения искривляют поперечные сечения и гипотеза плоских сечений, вообще говоря, не выполняется. Однако если длина велика по сравнению с высотой балки, то искривления по перечных сечений и возникающее в случае поперечного изгиба взаимное нажатие волокон не оказывают существенного влияния на величину нормальных напряжений, и нормальные напряжения при поперечном изгибе будут определяться по тем же формулам, что и при чистом изгибе.
Дадим грубую оценку касательных напряжений при изгибе.
Пусть - длина балки, а
Характерный размер поперечного сечения.
Если сечение не является тонкостенным, то площадь его отличается от величины числовым множителем порядка единицы. Тогда среднее касательное напряжение в сечении имеет порядок
Оценим порядок нормальных напряжений.
Наибольший момент имеет порядок , а момент сопротивления порядок (например для прямоугольного сечения 
). Таким образом нормальное напряжение имеет следующий порядок: , откуда видно, что если длина стержня велика по сравнению с характерным размером поперечного сечения , то касательные напряжения при расчетах на прочность обычно не принимаются во внимании. Однако, исключения составляют случаи:
1) Тонкостенные стержни
2) В случае конструкций, выполненных из материалов с малым сопротивлением межслойному сдвигу, например, древесина, или, получающие в настоящее время большое распространение армированные пластики, когда касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные.
3) Для расчета соединений (поясных швов, заклепок) в металлических балках составного сечения.
Имея это ввиду, мы приведем формулу для определения касательных напряжений при изгибе, полученную нашим соотечественником Д.И.Журавским в середине прошлого века. , где - касательные напряжения в слое, отстоящим от нейтральной оси на расстоянии .
Лекция 9
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Как уже говорилось, поперечным называют изгиб, при котором в сечении балки помимо изгибающего момента возникает поперечная сила. В этом случае в поперечных сечениях вместе с нормальными напряжениями σ появляются касательные напряжения τ. Наличие касательных напряжений вызывает сдвиг отдельных волокон относительно друг друга, и сечение, бывшее до деформации плоским, после нагружения искривляется. Это явление носит название депланации сечений (рис. 9.1,а ).
Однако нарушение гипотезы плоских сечений практически не влияет на распределение нормальных напряжений, найденное нами при рассмотрении чистого изгиба – формулы (8.4), (8.5), (8.7) остаются справедливыми и при поперечном изгибе:
Этот факт можно объяснить тем, что если поперечная сила на участке постоянна, искривление всех сечений происходит одинаково, и удлинение произвольного продольного волокна АВ (рис. 9.1,б ) не зависит от того, остались ли сечения плоскими:
При изменяющейся поперечной силе указанные формулы дают некоторую погрешность, величина которой пропорциональна относительной высоте сечения балки h /l и в большинстве случаев незначительна. Сказанное даёт нам основания и при поперечном изгибе пользоваться гипотезой плоских сечений, считая, что картина деформаций в основном определяется поворотом сечений, а не их искривлением за счёт сдвиговых деформаций.
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ФОРМУЛА ЖУРАВСКОГО
Наличие поперечной силы Q y приводит к появлению в плоскости сечения касательных напряжений τ zy (рис.9.2). По закону парности такие же по величине напряжения действуют в продольных сечениях:
.
Для нахождения касательных напряжений выделим из балки, подвергнутой поперечному изгибу, бесконечно малый элемент длиной dz, показанный на рис.9.3,а . В поперечных сечениях, образующих грани элемента, показаны нормальные и касательные напряжения, а также внутренние усилия. При этом учтено, что изгибающие моменты в левом и правом сечениях не равны друг другу и отличаются на величину dM x в силу того, что Q y = dM x /dz ¹ 0. Нормальные напряжения также не будет равны, их отличие с учётом (8.5) составит величину
Дополнительно рассечём выделенный элемент горизонтальной плоскостью, проходящей на произвольном расстоянии y от нейтральной оси, и рассмотрим условие равновесия нижней части элемента. Площадь поперечного сечения отсечённой части элемента обозначим A отс, положение элементарной площадки dA определим координатой y 1 (рис.9.3.б ). Равнодействующая нормальных сил sdA в левом сечении равна
(9.1)
Входящий в последнее выражение интеграл представляет собой статический момент площади A отс относительно нейтральной оси x . Обозначив его величину , получим
. (9.2)
В правом сечении равнодействующая нормальных сил будет иной:
.
Разность этих сил
(9.3)
должна в проекции на ось z уравновешиваться касательной силой dT , действующей в продольном сечении элемента (рис. 9.3,б ).
Предположив, что по ширине сечения b касательные напряжения t распределены равномерно, а так же учитывая малость элемента в направлении оси балки, усилие dT можно представить следующим образом
Из полученных зависимостей(9.3) и (9.5) с учётом равенства (9.4) получаем формулу для нахождения касательных напряжений:
. (9.6)
При отсутствии распределённой моментной нагрузки m последнее выражение принимает вид
Таким образом, мы определили напряжения в горизонтальном сечении, проведённом на расстоянии y от нейтральной оси. По закону парности они равны напряжениям в поперечном сечении балки. Напомним, что b – ширина поперечного сечения в месте его рассечения горизонтальной плоскостью, а - статический момент отсеченной площади A отс относительно горизонтальной центральной оси х . Выражение (9.7) называется формулой Журавского, по имени профессора Д.И.Журавского (1821-1891гг.), впервые получившего её при разработке методов расчёта мостовых сооружений в ходе проектирования и строительства железной дороги С.Петербург – Москва в середине XIX века.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В БАЛКАХ РАЗЛИЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Из величин, входящих в правую часть формулы Журавского, в общем случае функциями координаты y являются статический момент и ширина сечения b. При подходе к нижней кромке сечения, площадь A отс (рис.9.3,б ) стремится к нулю, а вместе с ней обращается в нуль и статический момент . При подходе к верхней кромке площадь отсечённой части A отс оказывается равна площади всего сечения A . Поскольку ось х является центральной, то статический момент и в этом случае равен нулю. Таким образом, касательные напряжения обращаются в нуль на верхней и нижней границах сечения. Характер их изменения внутри сечения рассмотрим на нескольких примерах.
1. Прямоугольное сечение.
Для сечения размерами b и h найдём статический момент отсеченной части площади (на рис. 9.4,а заштрихована), как произведение площади A отс на координату её центра тяжести у с :
Учитывая, что
.
Подставляя это выражение в формулу Журавского (9.7), найдём закон изменения касательного напряжения по высоте сечения:
.
Здесь принято во внимание, что для прямоугольного сечения
Таким образом, эпюра напряжения t, показанная на рис. 9.4,б , имеет вид квадратной параболы. Наибольшей величины напряжение достигают при значении у = 0:
.
Здесь A – площадь всего сечения.
2. Треугольное сечение.
Рассмотрим сечение треугольной формы с основанием с и высотой h (рис. 9.5,а ). Обозначим ширину сечения на расстоянии y от оси как b . Тогда будем иметь:
.
Статический элемент заштрихованной части сечения
осевой момент инерции треугольного сечения
Подставив полученные выражения в формулу Журавского, найдём касательное напряжение
.
Эпюра напряжений, показанная на рис. 9.5,б , как и предыдущем случае, имеет вид квадратной параболы, имеющей максимум в центральной части сечения (у =h/ 6).
Наибольшее напряжение равно
,
где A – площадь сечения балки.
3. Круглое сечение.
Статический момент отсечённый части сечения, показанной на рис. 9.6 штриховкой, можно представить следующим образом
,
где у 1 – координата, описывающая положение элементарной площадки dA .
После интегрирования получим
Учитывая, что для круга
находим зависимость касательного напряжения t от вертикальной координаты у :
При у = 0 касательное напряжение имеет наибольшее значение
.
Эпюра t показана на рис. 9.6,б .
В двух последних примерах, строго говоря, формула Журавского не может быть признана точной. Легко показать, что здесь не выполняется допущение о постоянстве напряжений по ширине сечения.
Рассмотрим бесконечно малый элемент, в окрестности точки К сечения (рис.9.7). Пусть одна из граней элемента является частью внешней боковой поверхности балки.
Напряжение t в поперечном сечении всегда можно разложить на две составляющие - t к, которая направлена по касательной к контуру сечения, и перпендикулярную ей t н, действующую по нормали к границе сечения. По закону парности касательных напряжений, такое же по величине напряжение t н должно действовать на перпендикулярной площадке, т.е.площадке, выходящей на боковую поверхность балки. Однако по условиям нагружения боковая поверхность должна быть свободна от сдвиговых нагрузок, следовательно,
Отсюда следует вывод, что напряжение t может быть направленно только по касательной к границе сечения, т.е. совпадать со своей проекцией t к.
В точке К ¢ напряжение t также будет направленно по касательной к контуру сечения, симметрично напряжению в точке К .
Проведённые рассуждения справедливы и для треугольного сечения, и вообще для любых сечений с плавно меняющейся толщиной. Формула Журавского в этих случаях является приближённой и позволяет вычислить не сами касательные напряжения t, а их проекцию на ось у (на плоскость нагружения).
4. Тонкостенные сечения.
В качестве примера тонкостенного сечения на рис. 9.8,а изображён двутавр, состоящий их двух полок и соединяющей их стойки. Такое сечение можно разбить на прямоугольники, и формально воспользовавшись формулой Журавского, получить показанные на рис. 9.8,б распределение касательных напряжений.
В местах соединения полок со стойкой на эпюре напряжений возникает скачок значений, связанный с резким уменьшением ширины сечения в средней части. Распределение напряжений в полках показано на эпюре пунктиром, поскольку реальная картина будет несколько иной. Дело в том, что в полках помимо вертикальных напряжений t возникают горизонтальные составляющие напряжений t ¢ , величина которых значительно больше. Если отсечь часть полки с площадью A отс, как это показано на рис. 9.9, то нормальные напряжения приведут к появлению нормальной силы dN , подобно тому, как это описано при выводе формулы Журавского (9.7). Для обеспечения условий равновесия необходимо появление в полке касательных напряжений t ¢ :
,
где δ – толщина полки. Вдоль размера δ напряжения t xz распределены равномерно.
По ширине полки касательные напряжения изменяются по линейному закону, поскольку
где х 1 – расстояние от края полки (см. рис. 9.9). Эпюра горизонтальных напряжений t ¢ , равномерно распределённых по толщине стенки δ и направленных по касательной к контуру сечения, показана на рис. 9.8,в . Их величина может быть найдена по формуле
В случае изгиба в двух плоскостях, напряжения можно найти в виде алгебраической суммы:
(9.9)
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НАИБОЛЬШИМИ НОРМАЛЬНЫМИ И НАИБОЛЬШИМИ КАСАТЕЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ ИЗГИБЕ
Из рассмотренных примеров следует, что зона наибольших касательных напряжений расположена в средней части высоты сечения, а величина t max для сплошных сечений имеет порядок Q y /A . В большинстве случаев касательные напряжения составляют по сравнению с нормальными напряжениями небольшую величину. Например, для консольной балки прямоугольного сечения, показанной на рис. 9.10
наибольшие нормальные напряжения равны
а наибольшие касательные
Их соотношение
свидетельствует о том, что касательные напряжения во много раз меньше нормальных. По этой причине расчёт на прочность при поперечном изгибе, как и при чистом изгибе, производится только по нормальным напряжениям. При этом касательные напряжения во внимание не принимаются, поскольку они равны нулю в наиболее удалённых от нейтральной оси точках сечения, где максимальны нормальные напряжения.
Однако, в ряде случаев касательные напряжения при изгибе необходимо учитывать. Это относится, прежде всего, к тонкостенным профилям – двутавру, швеллеру и т.д. при нагрузках, вызывающих большую поперечную силу по сравнению с изгибающим моментом. В такой ситуации рекомендуется проводить так называемую полную проверку прочности.
Другой причиной проверки прочности по касательным напряжениям является применение изотропных материалов, плохо сопротивляющихся сдвигу – например, дерева.
ПОЛНАЯ ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛОК ТОНКОСТЕННОГО ПРОФИЛЯ
На рис. 9.11,а в качестве примера тонкостенного сечения изображён двутавр с обозначением характерных точек, в которых необходима проверка прочности.
В точках типа 1, наиболее удалённых от нейтральной оси, нормальные напряжения достигают максимума, а касательные равны нулю.
Для тонкостенных сечений, так же как и для сплошных, расчёт на прочность начинают с проверки условия (8.7):
,
что позволяет назначить размеры сечения таким образом, чтобы момент сопротивления не был меньше требуемого значения
.
Если для сплошных сечений проверка прочности на этом заканчивается, то для тонкостенных необходим дальнейший расчёт.
В опасных точках типа 2 (рис.9.11,а ) возможно разрушение срезом за счёт значительных по величине касательных напряжений. Поскольку нормальных напряжений в этом месте нет, условие прочности имеет вид
(9.10)
где R ср – расчётное сопротивление материала на срез.
Применительно к двутавровому сечению условие прочности по касательным напряжениям принимает вид
(9.11)
Здесь - наибольшее по модулю значение поперечной силы;
Статический момент половины сечения относительно оси х (для стандартных профилей приведён в справочных таблицах);
d – толщина стойки двутавра;
Если условие прочности по касательным напряжениям не выполняется, необходимо увеличить номер стандартного профиля и повторить расчёт по формуле (9.11). Условие прочности по нормальным напряжениям при этом можно не проверять, поскольку оно заведомо выполняется.
Наконец, необходимо исключить разрушение в опасных точках типа 3, расположенных в местах перехода от полок к стенке. Здесь ни нормальные, ни касательные напряжения не достигают максимума, но имеют значительную величину и действуют совместно. Для проверки прочности в такой ситуации необходимо привлекать т.н. теории прочности, о которых речь пойдет ниже. Пока же приведём условия прочности по наиболее часто применяемым для пластичных материалов третьей и четвёртой теориям:
(9.12)
Здесь - эквивалентные напряжения по соответствующим теориям прочности, - нормальное и касательное напряжение в точке 3 (рис. 9.11,а ):
В последнюю формулу входит величина , представляющая собой статический момент полки двутавра относительно оси х . Полка схематизируется в виде прямоугольника, размеры которого приведены в справочных таблицах. Статический момент этой фигуры легко вычисляется как произведение площади прямоугольника на расстояние от его центра тяжести до оси х .
Отметим, что обеспечить прочность на этом этапе расчета, необходимо для всех сечений, где одновременно велики изгибающий момент и поперечная сила.
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l – длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (6.4).
Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dх (рис. 6.6 а ).
| а |
| б |
| в |
| г |
| А * |
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии z от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.6 в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.6 б ). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b ×dx распределены равномерно, используя условие åx = 0, получим:
N * - N * - d N * + t× b ×dx = 0 ,
. (6.5)
где N * - равнодействующая нормальных сил s×dA в левом поперечном сечении
элемента dx в пределах площади A * (рис. 6.6 г ):
. (6.6)
С учетом (6.4) последнее выражение можно представить в виде
, (6.7)
где 
- статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y
(на рис. 6.6 б эта область заштрихована).
Следовательно, (6.7) можно переписать в виде 
, откуда
. (6.8)
В результате совместного рассмотрения (6.7) и (6.8) получим
,
или окончательно
. (6.9)
Формула (6.9) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.6 г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси – dx , т.е. по оси x ; по вертикальной оси – dz , т.е. по оси z ; по оси y - равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (6.4), а касательные напряжения t – по формуле Д.И. Журавского (6.9). С учетом закона парности касательных напряжений легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s a и t a , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dA , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dA sin a и dA cos a соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.6 г ), получим:
,
откуда будем иметь:
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a 0 , при котором напряжение s a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s a от a и приравняем ее нулю:
.
Предполагая a = a
0 , получим: 
.
Откуда окончательно будем иметь: 
.
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными , а сами напряжения - главными напряжениями .
Сопоставляя выражения t a и 
, имеем: 
, откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы 
, определим главные напряжения, выражая из через s и t.
В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений применяют ту же формулу (5).
Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной (рис. 6.28,а ).
Рис. 6.28
Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в ) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b . При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б ). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади распределены равномерно, используя условие , получим:
где - равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента в пределах заштрихованной площади :
С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде
где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.28,б эта область заштрихована). Следовательно, (15) можно переписать в виде
В результате совместного рассмотрения (13) и (16) получим
или окончательно
Полученная формула (17) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.
Условие прочности по касательным напряжениям:
где -максимальное значение поперечной силы в сечении; - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .
Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.28,г ), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz , т.е. по оси z ; по вертикальной оси - dy , т.е. по оси у ; по оси х - равный ширине балки.
Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения на этой площадке определяются по формуле (5), а касательные напряжения - по формуле Д.И. Журавского (17). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны . Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.
Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки , для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь и , соответственно.
Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.28,г ), получим:
откуда будем иметь:
Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:
Определим ориентацию площадки, т.е. значение , при котором напряжение принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции от и приравняем ее нулю:
Предполагая , получим:
Откуда окончательно будем иметь:
Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными , а сами напряжения - главными напряжениями.
Сопоставляя выражения и , имеем:
откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.
В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:
и формулы ,
определим главные напряжения, выражая из через и :
