В физике... нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. Э. Ферми
Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.
При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.
Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.
Вот некоторые достоинства и приложения метода размерностей:
- быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;
- получение качественных и функциональных зависимостей;
- восстановление забытых формул на экзаменах;
- выполнение некоторых заданий ЕГЭ;
- осуществление проверки правильности решения задач.
Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).
Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:
Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.
Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м 2). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м 2 является kT/ 2 ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:
где k – постоянная Больцмана.
Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.
Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.
Рисунок 1
Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.
Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: .Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.
Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.
Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.
Левая и правая части соотношения (1) имеют одинаковые размерности. Размерности величин v, F, m и s таковы: [v] = м/c = мc -1 , [F] = H = кгмс -2 , [m] = кг, [s] = м. (Символ [A] обозначает размерность величины A.) Запишем равенство размерностей в левой и правой частях соотношения (1):
м c -1 = кг x м x c -2x кг y м Z = кг x+y м x+z c -2x .
В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.
Это значит, что
Справа метры входят в степени x+z, а слева - в степени 1, поэтому
Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует
Из полученных уравнений находим числа x, y, z:
x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.
Окончательная формула имеет вид
Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что
Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.
Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение v 2 /s прямо пропорционально отношению F/m. Например, два тела с разными массами m 1 и m 2 ; будем действовать на них разными силами F 1 и F 2 , но таким образом, что отношения F 1 / m 1 и F 2 / m 2 будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начнут двигаться. Если начальные скорости равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины s, будут равны. Это и есть закон подобия, к которому мы пришли с помощью идеи о равенстве размерностей правой и левой частей формулы, описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.
Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.
В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.
Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.
Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.
Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:
Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.
Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:
C -1 , [F] = кгм с -2 , [M] = кг, = м.
Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство
с -1 = кг x м x c -2x кг y м z = кг x + y м x + z c -2x
В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:
x+y=0, x+z=0, -2x= -1
Решая эту систему, находим:
x=1/2, y= -1/2, z= -1/2
Следовательно,
~F 1/2 M -1/2 1 -1/2
Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз ( 2 = 2F/(M1)).
Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.
При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.
Ответ ищем в виде:
где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.
м/c = (кг/м 3) x Па y ,
м/с = (кг/м 3) x (кг м/(с 2 м 2)) y ,
м 1 с -1 = кг x м -3x кг y м y c -2y м -2y ,
м 1 с -1 = кг x+y м -3x + y-2y c -2y ,
м 1 с -1 = кг x+y м -3x-y c -2y .
Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:
x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,
x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,
x = -1/2 , y = 1/2 .
Таким образом, скорость звука в газе
Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.
Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.
Повторяя данный материал в 11-м классе, внимание учащихся обращается на то, что результат (2) можно получить для модели изотермического процесса распространения звука с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона и понятия плотности:
– скорость распространения звука.
Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.
Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .
Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:
,
,
,
Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:
Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:
- отсюда следует
Из заштрихованного треугольника видно, что
Ответ: В).
Это мы воспользовались методом размерности.
Метод размерностей кроме осуществления традиционной проверки правильности решения задач, выполнения некоторых заданий ЕГЭ, помогает находить функциональные зависимости между различными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Таких зависимостей в природе много, и метод размерностей - хороший помощник при решении подобных задач.
В случаях, когда изучаемые процессы не описываются дифференциальными уравнениями, одним из путей их анализа является эксперимент, результаты которого наиболее целесообразно представлять в обобщенной форме (в виде безразмерных комплексов). Методом составления таких комплексов является метод анализа размерностей.
Размерность какой-либо физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные (первичные). В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. Например, в Международной системе единиц измерения СИ за единицы измерения длины, массы и времени соответственно приняты метр (м), килограмм (кг), секунда (с). Единицы измерения остальных физических величин, так называемых производных величин (вторичных), принимаются на основании законов, устанавливающих связь между этими единицами. Эта связь может быть представлена в виде так называемой формулы размерности.
Теория размерностей основана на двух положениях.
- 1. Отношение двух числовых значений какой-либо величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения (например, отношение двух линейных размеров не зависит от того, в каких единицах они будут измеряться).
- 2. Любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это утверждение представляет так называемую П-теорему в теории размерностей.
Из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных зависимостей
где – размерности основных единиц.
Математическое выражение П-теоремы можно получить, исходя из следующих соображений. Пусть некоторая размерная величина а 1 является функцией нескольких независимых между собой размерных величин , т.е.
Отсюда следует, что
Допустим, что число основных размерных единиц, через которые могут быть выражены все п переменных величин, равно т. П-теорема устанавливает, что если все п переменных величин выразить через основные единицы, то их можно сгруппировать в безразмерных П-членов, т.е.
При этом каждый П-член будет содержатьпеременную величину.
В задачах гидромеханики число переменных, входящих в П-члены, должно равняться четырем. Три из них будут определяющими (обычно это характерная длина, скорость течения жидкости и ее плотность) – они входят в каждый из П-членов. Одна из этих переменных (четвертая) является различной при переходе от одного П-члена к другому. Показатели степени определяющих критериев (обозначим их через х, у , z) являются неизвестными. Показатель степени четвертой переменной для удобства примем равным -1.
Соотношения для П-члснов будут иметь вид
Входящие в П-члены переменные можно выразить через основные размерности. Так как эти члены являются безразмерными, то показатели степени каждой из основных размерностей должны быть равны нулю. В результате для каждого из П-членов можно составить по три независимых уравнения (по одному для каждой размерности), которые связывают показатели степени входящих в них переменных. Решение полученной системы уравнений дает возможность найти числовые значения неизвестных показателей степени х , у , z. В итоге каждый из П-членов определяется в виде формулы, составленной из конкретных величин (параметров среды) в соответствующей степени.
В качестве конкретного примера найдем решение задачи определения потерь напора на трение при турбулентном течении жидкости .
Из общих соображений можно заключить, что потеря давленияв трубопроводе зависит от следующих основных факторов: диаметра d , длины l , шероховатости стенок k, плотности ρ и вязкости µ среды, средней скорости течения v , начального напряжения сдвига, т.е.
(5.8)
Уравнение (5.8) содержит п=7 членов, а число основных размерных единиц. Согласно П-теореме получим уравнение, состоящее избезразмерных П-членов:
(5.9)
Каждый такой П-член содержит 4 переменные. Принимая в качестве основных переменных диаметр d , скорость v , плотность и комбинируя их с остальными входящими в уравнение (5.8) переменными, получаем
Составляя уравнение размерности для первого П-члена, будем иметь
Складывая показатели степени при одинаковых основаниях, находим
Для того чтобы размерность П 1 была равна 1 (П 1 – безразмерная величина), необходимо потребовать равенства нулю всех показателей степеней, т.е.
(5.10)
Система алгебраических уравнений (5.10) содержит три неизвестные величины x 1, у 1,z 1. Из решения этой системы уравнений находим x 1 = 1; у 1=1; z 1= 1.
Подставляя эти значения показателей степени в первый П-член, получаем
Аналогично для остальных П-членов будем иметь
Подставляя полученные П-члены в уравнение (5.9), находим
Решим это уравнение относительно П4:
Выразим отсюда :
Учитывая, что потери напора на трение равны разности пьезометрических напоров, будем иметь
Обозначив комплекс, находящийся в квадратных скобках, через, окончательно получим
Последнее выражение представляет известную формулу Дарси – Вейбаха, где
Формулы для расчета коэффициента трения к рассмотрены в параграфах 6.13, 6.14.
При решении задач по физике на любом уровне необычайно важно определить наиболее приемлемый метод или методы, а уж затем перейти к «техническому» воплощению. Учителя-виртуозы (мы сознательно употребили это выражение, так как считаем во многом схожим прочтение музыкального произведения музыкантами-импровизаторами и учителями-виртуозами, нашедшими собственные, авторские подходы в трактовке и толковании физических закономерностей) уделяют много времени предварительному обсуждению проблемы. Говоря другими словами, обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи, поскольку происходит своеобразный обмен методиками, соприкосновение различных точек зрения, что, собственно, и является целью процесса обучения. Процесс подготовки к решению задачи во многом напоминает процесс подготовки актера к спектаклю. Обсуждение ролей, характеров героев, обдумывание интонаций, музыкальных реприз и художественных декораций являются важнейшими элементами погружения актера в роль. Не случайно, что многие известные театральные работники ценят подготовительный процесс и вспоминают атмосферу репетиций и собственные находки. В процессе преподавания учитель использует различные методы или «спектр методов». Одним из общих методов решения является решение задач методом размерности. Суть данного метода заключается в том, что искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Важным моментом в решении является нахождение этих величин. Анализ размерностей левой и правой частей соотношения позволяет определить аналитическую зависимость с точностью до постоянного множителя.
Рассмотрим, например, от чего может зависеть давление в газе. Из повседневного опыта мы знаем, что давление является функцией температуры (увеличивая температуру, мы увеличиваем давление), концентрации (давление газа возрастет, если, не изменяя его температуры, мы поместим в данный объем большее число молекул). Естественно предположение о зависимости давления газа от массы молекул и их скорости. Понятно, что чем больше масса молекул, тем больше будет давление при прочих постоянных величинах. Очевидно, что при увеличении скоростей молекул давление будет возрастать. (Отметим, что все вышеизложенные рассуждения говорят о том, что все показатели степеней в окончательной формуле обязаны быть положительными!) Можно предположить, что давление газа находится в зависимости от его объема, однако если мы поддерживаем постоянной концентрацию молекул, то давление от объема не зависит. Действительно, в случае, если мы приведем в соприкосновение два сосуда с одинаковыми газами одной и той же концентрации, скоростями молекул, температурой и т.д., то, убрав перегородку, разъединяющую газы, мы не изменим давления. Таким образом, изменив объем, но оставив неизменным концентрацию и другие параметры, мы не изменили давления. Иначе говоря, мы не должны будем вводить объем в наши рассуждения. Казалось бы, что мы вправе строить функциональную зависимость, но, быть может, мы ввели избыточную информацию? Дело в том, что температура – это энергетическая характеристика тел, поэтому она связана с энергией молекул, т.е. является функцией массы и скорости молекул, составляющих тело. Поэтому, включая в наши предположения зависимости давления от концентрации, скоростей и массы молекул, мы уже «позаботились» о всех возможных зависимостях, которые в том числе могут включать и температуру. Говоря иными словами, искомая функциональная зависимость может быть записана в виде:
Здесь p – давление газа, т 0 – масса молекулы, n – концентрация, u – скорость молекулы.
Представим давление, массу, концентрацию, скорость в основных величинах интернациональной системы:
Зависимость (1) на языке размерностей имеет вид:
Сравнение размерности левой и правой части дает систему уравнений
Решая (4), получим а = 1; b = 1; с = 2. Давление газа теперь можно записать как
(5)
Обратим внимание на то, что коэффициент пропорциональности нельзя определить, используя метод размерностей, но, тем не менее, мы получили неплохое приближение к известному соотношению (основное уравнение мо-лекулярно-кинетической теории).
Рассмотрим несколько задач, на примере решения которых продемонстрируем суть метода размерностей.
Задача 1 . Оцените выражение для периода колебаний математического маятника, используя анализ размерностей. Предположим, что период колебаний маятника зависит от его длины, ускорения свободного падения и массы груза(!):
(6)
Представим все вышеупомянутые величины:
С учетом (7) перепишем искомую закономерность выражением
(8)
(9)
Теперь уже нетрудно записать систему уравнений:
Таким образом, ; с = 0.
(11)
Отметим, что «масса имеет нулевую размерность», т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы:
Задача 2
. Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний 
.
На первый взгляд кажется, что нам необходимо ввести в рассмотрение температуру газа, так как хорошо известно, что скорость звука зависит от температуры. Однако (сравните с рассуждением выше) давление может быть выражено как функция плотности (концентрации) и температуры среды. Поэтому одна из величин (давление, плотность, температура) является «лишней». Поскольку по условию задачи нам предлагается сравнить скорости разных давлений и плотностей, то разумно исключить из рассмотрения температуру. Отметим, что если бы нам надо было сделать сравнение для разных давлений и температур, то мы бы исключили плотность.
Скорость звука в условиях данной задачи может быть представлена
Соотношение (13) перепишем как
(14)
Из (14) имеем
Решение (15) дает .
Результаты экспериментов имеют следующую функциональную зависимость:
Скорость звука для двух состояний имеет вид:
(17)
Из (17) получим отношение скоростей
Задача 3 . На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F . Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан лишь один виток, второй конец удерживается с силой f . С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано n витков? Как изменится сила f , если выбрать столб вдвое большего радиуса? (Сила f не зависит от толщины каната.)
Совершенно очевидно, что сила f в данном случае может зависеть лишь от приложенной внешней силы F , коэффициента трения и диаметра столба. Математическую зависимость можно представить как
(19)
Поскольку коэффициент трения является величиной безразмерной, то (19) перепишем в виде
так как а = 1; с = 0 (a – коэффициент пропорциональности, связанный с μ). Для второго, третьего, ..., п -го намотанного витка запишем аналогичные выражения:
(21)
Подставляя α из (20) в (21), получим:
Хорошо известно, что «метод размерностей» зачастую с успехом применяется в гидродинамике и аэродинамике. В некоторых случаях он позволяет «оценить решение» достаточно быстро и с хорошей степенью надежности.
Совершенно понятно, что в данном случае сила сопротивления может зависеть от плотности жидкости, скорости потока и площади поперечного сечения тела:
(23)
Выполнив соответствующие преобразования, найдем, что
(24)
Как правило, соотношение (24) представляют в виде
(25)
где . Коэффициент с характеризует обтекаемость тел и принимает различные значения для тел: для шара с = 0,2 – 0,4, для круглого диска с = 1,1 – 1,2, для каплеобразного тела с » 0,04. (Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т. 1. – М.: Наука, 1974.)
До сих пор мы рассматривали примеры, в которых коэффициент пропорциональности оставался безразмерной величиной, однако это не означает, что мы должны всегда следовать этому. Вполне возможно сделать коэффициент пропорциональности «размерным», зависящим от размера основных величин. Например, вполне уместно представить гравитационную постоянную 
. Говоря другими словами, наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее численное значение зависит от выбора основных величин. (Здесь нам кажется уместным сделать ссылку на статью Д.В.Сивухина «О международной системе физических величин», УФН, 129, 335, 1975.)
Задача 5 . Определите энергию гравитационного взаимодействия двух точечных масс т 1 и т 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.
Помимо предложенного метода анализа размерностей, дополним решение задачи принципом симметрии входящих величин. Соображения симметрии дают основания считать, что энергия взаимодействия должна зависеть от т 1 и т 2 одинаковым образом, т.е. в окончательное выражение они должны войти в одинаковой степени:
(26)
Очевидно, что
Анализируя соотношение (26), найдем, что
а = 1; b = 1; с = –1,
(28)
Задача 6. Найдите силу взаимодействия между двумя точечными зарядами q 1 и q 2 , находящимися на расстоянии r .
Мы здесь можем воспользоваться симметрией, но если не хотим делать предположений о симметрии или не уверены в такой симметрии, то можно использовать другие методы. Данная статья написана для того, чтобы показать различные методы, поэтому мы решим задачу другим способом. Очевидна аналогия с предыдущей задачей, однако в данном случае можно воспользоваться принципом нахождения эквивалентных величин. Попытаемся определить эквивалентную величину – напряженность электрического поля заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2 . Понятно, что искомая сила – это произведение q 2 на найденную напряженность поля. Поэтому будем предполагать зависимость напряженности от искомых величин в виде:
Представим все в основных единицах:
Проделав все преобразования, получим систему уравнений
Таким образом, а = –1; b = 1; с = –2, и выражение для напряженности принимает вид
Искомая же сила взаимодействия может быть представлена выражением
(33)
В соотношении (33) отсутствует безразмерный коэффициент 4π, который был введен по историческим причинам.
Задача 7. Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом r 0 и плотностью r на расстоянии R (R > r 0) от оси цилиндра.
Поскольку мы не можем сделать предположений о равноправии r 0 и R , то решить данную задачу методом размерностей, не привлекая иных соображений, довольно трудно. Попытаемся понять физическую суть параметра r . Он характеризует плотность распределения массы, создающей интересующую нас напряженность поля. Если цилиндр сжать, оставив массу внутри цилиндра неизменной, то напряженность поля (на фиксированном расстоянии R > r 0) будет такой же. Иначе говоря, линейная плотность является более важной характеристикой, поэтому применим метод замены переменной. Представим . Теперь s является новой переменной в предложенной задаче, при этом:
a . Горизонтальная и вертикальная скорости и ускорение свободного падения принимают соответственно вид:
Построим математическую конструкцию для дальности и высоты полета:
(39)
Анализируя выражение (39), получим теперь
(40)
(41)
Данный метод является более сложным, однако хорошо работает, если имеется возможность различить величины, измеряемые одной и той же единицей измерения. Например: инерционная и гравитационная масса («инерционные» и «гравитационные» килограммы), вертикальное и горизонтальное расстояние («вертикальные» и «горизонтальные» метры), сила тока в одной и другой цепи и т.п.
Суммируя все вышеизложенное, отметим:
1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.
2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.
3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.
4. Анализ размерностей при решении задач широко используется в научных исследованиях.
5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.
Следует подчеркнуть, что конечная цель в рассматриваемом случае остается прежней: нахождение чисел подобия, по которым следует вести моделирование, но решается она при существенно меньшем объеме информации о характере процесса.
Для уяснения дальнейшего кратко рассмотрим некоторые основополагающие понятия. Обстоятельное изложение можно найти в книге А.Н.Лебедева «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.
Любой материальный объект обладает рядом свойств, которые допускают количественное выражение. При этом каждое из свойств характеризуется размером определенной физической величины. Единицы некоторых физических величин можно выбирать произвольно, и с их помощью представлять единицы всех остальных. Физические единицы, выбираемые произвольно, называют основными . В международной системе (применительно к механике) это - килограмм, метр и секунда. Остальные величины, выраженные через эти три, называют производными .
Основная единица может обозначаться либо символом соответствующей величины, либо специальным символом. Например, единицы длины - L , единицы массы - M , единица времени - T . Либо, единица длины - метр (м), единица массы - килограмм (кг), единица времени - секунда (с).
Под размерностью понимают символическое выражение (иногда его называют формулой) в виде степенного одночлена, связывающее производную величину с основными. Общий вид этой закономерности имеет вид
где x , y , z - показатели размерности.
Например, размерность скорости
Для безразмерной величины все показатели 
, и, следовательно, .
Два следующих утверждения достаточно ясны и не нуждаются в каких-либо специальных доказательствах.
Отношение размеров двух объектов является величиной постоянной вне зависимости от того, в каких единицах они выражаются. Так, например, если отношение площади, занимаемой окнами, к площади стен составляет 0,2, то этот результат останется неизменным, если сами площади выражать в мм2, м2или км2.
Второе положение можно сформулировать следующим образом. Любое правильное физическое соотношение должно быть размерностно однородным. Это означает, что все члены, входящие как в правую, так и в левую его части должны иметь одинаковую размерность. Это простое правило четко реализуется в житейском обиходе. Все осознают, что метры можно складывать только с метрами и никак не с килограммами или с секундами. Нужно четко представлять, что правило остается справедливым и при рассмотрении даже самых сложных уравнений.
Метод анализа размерностей базируется на так называемой -теореме (читается: пи-теорема). -теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так:
Любая функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде зависимости между N
безразмерными комплексами (числами ), составленными из этих величин. Число этих комплексов 
, где n
- число основных единиц. Как уже отмечалось выше, в гидромеханике (кг, м, с).
Пусть, например, величина А является функцией пяти размерных величин (), т.е.
(13.12)
Из -теоремы следует, что эта зависимость может быть преобразована в зависимость, содержащую два числа (
)
(13.13)
где и - безразмерные комплексы, составленные из размерных величин.
Эту теорему иногда приписывают Бэкингему и называют -теоремой Бэкингема. В действительности в её разработку внесли вклад многие крупные ученые, в том числе Фурье, Рябушинский, Рэлей.
Доказательство теоремы выходит за рамки курса. При необходимости оно может быть найдено в книге Л.И.Седова «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с. Подробное обоснование метода приводится и в книге В.А.Веникова и Г.В.Веникова «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с. Особенностью этой книги является то, что помимо вопросов, связанных с подобием, в нее включены сведения о методике постановки эксперимента и обработки его результатов.
Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функциональной зависимости вида (13.12), которая на следующем этапе обрабатывается специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел (чисел подобия).
Основным, носящим творческий характер, является первый этап, так как получаемые результаты зависят от того, насколько правильно и полно представление исследователя о физической природе процесса. Другими словами, насколько функциональная зависимость (13.12) правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс. Любая ошибка здесь неизбежно приводит к ошибочным выводам. В истории науки известна так называемая «ошибка Рэлея». Суть ее в том, что изучая задачу о теплообмене при турбулентном течении, Рэлей не учел влияние вязкости потока, т.е. не включил её в зависимость (13.12). В результате в конечные соотношения, полученные им, не вошло число подобия Рейнольдса, играющее исключительно важную роль в теплообмене.
Для уяснения сущности метода рассмотрим пример, иллюстрирующий как общий подход к задаче, так и способ получения чисел подобия .
Необходимо установить вид зависимости, позволяющий определить потери давления либо напора при турбулентном течении в круглых трубах.
Напомним, что эта задача уже рассматривалась в разделе 12.6. Поэтому представляет несомненный интерес установить, как она может быть разрешена с помощью анализа размерностей и дает ли это решение какую-то новую информацию.
Ясно, что падение давления вдоль трубы, обусловленное затратами энергии на преодоление сил вязкого трения обратно пропорционально её длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не , а , т.е. потери давления на единицу длины трубы. Напомним, что отношение , где - потери напора, носит название гидравлического уклона.
Из представлений о физической сущности процесса можно предположить что возникающие потери должны зависеть: от средней скорости течения рабочей среды (v); от размера трубопровода, определяемого его диаметром (d ); от физических свойств транспортируемой среды, характеризуемых её плотностью () и вязкостью (); и, наконец, разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхностью трубы, т.е. с шероховатостью (k ) ее стенок. Таким образом, зависимость (13.12) в рассматриваемом случае имеет вид
(13.14)
На этом и заканчивается первый и, нужно подчеркнуть, наиболее ответственный этап анализа размерностей.
В соответствии с -теоремой, число влияющих параметров, входящих в зависимость, . Следовательно, число безразмерных комплексов , т.е. после соответствующей обработки (13.14) должна принять вид
(13.15)
Существует несколько способов нахождения чисел . Мы воспользуемся методом, предложенным Рэлеем.
Основным достоинством его является то, что он представляет собой своеобразный алгоритм, приводящий к решению задачи.
Из параметров, входящих в (13.15) необходимо выбрать три любых, но так, чтобы в них входили основные единицы, т.е. метр, килограмм и секунда. Пусть ими будут v, d , . Легко убедиться, что они удовлетворяют поставленному требованию.
Образуются числа в виде степенных одночленов из выбранных параметров, умноженных на один из оставшихся в (13.14)
; (13.16)
; (13.17)
; (13.18)
Теперь задача сводится к нахождению всех показателей степеней. При этом они должны быть подобраны так, чтобы числа были безразмерны.
Для решения этой задачи определим прежде всего размерности всех параметров:
; ; 
Вязкость 
, т.е. 
.
Параметр 
, и 
.
И, наконец, .
Таким образом, размерности чисел будут
Аналогично два других
В начале раздела 13.3 уже отмечалось, что для любой безразмерной величины показатели размерности . Поэтому, например, для числа можем записать
Приравнивая показатели степеней, получаем три уравнения с тремя неизвестными
Откуда находим ; ; .
Подставляя эти значения в (13.6), получаем
(13.19)
Действуя аналогично, легко показать, что
и .
Таким образом, зависимость (13.15) принимает вид
(13.20)
Так как есть неопределяющее число подобия (число Эйлера), то (13.20) можно записать как функциональную зависимость
(13.21)
Следует иметь в виду, что анализ размерностей не дает и принципиально не может дать каких-то числовых значений в получаемых с его помощью соотношениях. Поэтому он должен завершаться анализом результатов и при необходимости их корректировкой, исходя из общих физических представлений. Рассмотрим с этих позиций выражение (13.21). В правую его часть входит квадрат скорости, но эта запись не выражает ничего, кроме того, что скорость возводится в квадрат. Однако, если поделить эту величину на два, т.е. , то как известно из гидромеханики, она приобретает важный физический смысл: удельной кинетической энергии, а - динамическое давление, обусловленное средней скоростью. С учетом этого (13.21) целесообразно записать в виде
(13.22)
Если теперь, как в (12.26), обозначить буквой , то приходим к формуле Дарси
(13.23)
(13.24)
где - гидравлический коэффициент трения, который, как следует из (13.22), является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости (k/d ). Вид этой зависимости может быть найден только экспериментальным путем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.
2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.
3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.
4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.
5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.
6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.
9. А.С. Монин, А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)
10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.
11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.
12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.
13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.
14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.
15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.
16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.
17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.
18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ................................................................................................ 3
1.1. Векторы и операции над ними................................................... 4
1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля). ......................................................................................................... 5
1.3. Операции второго порядка........................................................ 6
1.4. Интегральные соотношения теории поля.................................. 7
1.4.1. Поток векторного поля.................................................. 7
1.4.2. Циркуляция вектора поля.............................................. 7
1.4.3. Формула Стокса............................................................. 7
1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.................................. 7
2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЖИДКОСТИ. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ........................................................................... 8
2.1. Плотность.................................................................................... 8
2.2. Вязкость....................................................................................... 9
2.3. Классификация сил.................................................................... 12
2.3.1. Массовые силы............................................................. 12
2.3.2. Поверхностные силы.................................................... 12
2.3.3. Тензор напряжения...................................................... 13
2.3.4. Уравнение движения в напряжениях........................... 16
3. ГИДРОСТАТИКА................................................................................. 18
3.1. Уравнение равновесия жидкости.............................................. 18
3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме. ......................................................................................................... 19
3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления. ......................................................................................................... 20
3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатический закон распределения давления... 20
3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.... 22
3.5.1. Плоская поверхность.................................................... 24
4. КИНЕМАТИКА..................................................................................... 26
4.1. Установившееся и неустановившееся движение жидкости...... 26
4.2. Уравнение неразрывности (сплошности)................................. 27
4.3. Линии тока и траектории.......................................................... 29
4.4. Трубка тока (поверхность тока)............................................... 29
4.5. Струйная модель потока........................................................... 29
4.6. Уравнение неразрывности для струйки................................... 30
4.7. Ускорение жидкой частицы...................................................... 31
4.8. Анализ движения жидкой частицы........................................... 32
4.8.1. Угловые деформации................................................... 32
4.8.2. Линейные деформации................................................. 36
5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.............................................. 38
5.1. Кинематика вихревого движения............................................. 38
5.2. Интенсивность вихря................................................................ 39
5.3. Циркуляция скорости............................................................... 41
5.4. Теорема Стокса......................................................................... 42
6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ................................ 44
6.1. Потенциал скорости.................................................................. 44
6.2. Уравнение Лапласа................................................................... 46
6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.......................... 47
6.4. Функция тока плоского течения............................................... 47
6.5. Гидромеханический смысл функции тока................................ 49
6.6. Связь потенциала скорости и функции тока............................ 49
6.7. Методы расчета потенциальных потоков................................ 50
6.8. Наложение потенциальных потоков......................................... 54
6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра................ 58
6.10. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоских потоков идеальной жидкости............................................ 60
6.11. Конформные отображения..................................................... 62
7. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ............................. 65
7.1. Уравнения движения идеальной жидкости.............................. 65
7.2. Преобразование Громеки-Лэмба............................................. 66
7.3. Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба........................ 67
7.4. Интегрирование уравнения движения для установившегося течения......................................................................................................... 68
7.5. Упрощенный вывод уравнения Бернулли............................... 69
7.6. Энергетический смысл уравнения Бернулли........................... 70
7.7. Уравнение Бернулли в форме напоров.................................... 71
8. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ..................................... 72
8.1. Модель вязкой жидкости.......................................................... 72
8.1.1. Гипотеза линейности................................................... 72
8.1.2. Гипотеза однородности................................................ 74
8.1.3. Гипотеза изотропности................................................. 74
8.2 Уравнение движения вязкой жидкости. (уравнение Навье-Стокса) ......................................................................................................... 74
9. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (основы гидравлики)........................................................................................................... 77
9.1. Расход потока и средняя скорость........................................... 77
9.2. Слабодеформированные потоки и их свойства....................... 78
9.3. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости................. 79
9.4. Физический смысл коэффициента Кориолиса......................... 82
10. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.............................................................................................. 84
11. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ..................................................................................................... 86
12. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ. .................................................................................................................. 90
12.1. Общие сведения....................................................................... 90
12.2. Уравнения Рейнольдса............................................................ 92
12.3. Полуэмпирические теории турбулентности.......................... 93
12.4. Турбулентное течение в трубах............................................. 95
12.5. Степенные законы распределения скоростей....................... 100
12.6. Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах. ......................................................................................................... 100
13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ............... 102
13.1. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений..... 106
13.2. Понятие об автомодельности................................................ 110
13.3. Анализ размерностей............................................................ 111
Литература …………………………………………………………………..118
