Как-то мы с отцом ехали вдвоём далеко на машине. А это хороший повод для умной беседы.

Речь зашла об «основных теоремах». Основная теорема арифметики - это что любое целое раскладывается на произведение простых чисел, и единственным образом. Основная теорема алгебры - это что у многочлена столько корней, какой он степени (хотя там с формулировками ад). А основная теорема анализа у меня как-то вылетела тогда из головы.

Отец предположил, что основная теорема анализа - это теорема Ньютона-Лейбница. «Это про что?» - спросил я. Отец: «Точную формулировку не помню, но что-то о том, что интегрирование - это операция, обратная дифференцированию».

Стоп, а это разве не по определению?

Как всегда с этими основными теоремами, сказанное в них кажется очевидным после того, как ты уже это прошёл. Но на самом деле именно основная теорема позволяет нам считать интегрирование и дифференцирование обратными операциями. Дальше пойдут глубоко антинаучные рассуждения, где любой математик найдёт 100500 формальных ошибок, но это сейчас не важно.

Что такое дифференцирование? Это когда мы в каждой точке функции проводим касательную и находим тангенс угла, под которым она проходит к горизонту, вот этого:

Теперь если каждой точке поставить в соответствие найденный тангенс, то получится новая функция, которая называется производной. Напомню, что число e , что производная функции e x равна e x , то есть в каждой точке тангенс угла как раз равен значению самой функции.

Что такое интегрирование? Это нахождение площади фигуры под кривой функции, ограниченной некими вертикальными границами a и b и горизонтальной осью:

Если делить на всё большее число прямоугольников и посмотреть предел суммы площадей, то получится как раз площадь этой фигуры. Эта площадь называется определённым интегралом функции y = f(x) на отрезке [a; b ] и обозначается вот так:

Прямо скажем, совсем не очевидно, что фигня про углы и фигня про площадь вообще как-то связаны.

А связаны они вот как. Обратная производной функция называется первообразной. Первообразная от f(x) - это такая функция g(x) , что её производная g´(x) = f(x) . Например, у функции y = x 2 + 8 производная y = 2x . Значит для функции y = x функция y = (x 2 / 2) + 4 является первообразной.

Легко заметить, что таких функций бесконечное множество. Например, производная функции y = x 2 + 28 это тоже y = 2x . Значит для функции y = x функция (x 2 / 2) + 14 тоже является является первообразной. Это логично, ведь производная - это угол в каждой точке, и естественно, что он не меняется от того, на какую высоту мы вертикально поднимаем весь график функции целиком. Значит для функции x первообразная - это x 2 / 2 плюс сколько угодно .

Так вот, оказывается, чтобы найти площадь фигуры под функцией y = f(x) в пределах от a до b , нужно взять значения любой из её первообразных g(x) в точках b и a и вычесть одно из другого:

Здесь g - хоть и любая, но всё-таки какая-то одна первообразная, поэтому «сколько угодно» у неё будут одинаковыми, вычтутся друг из друга и на результат не повлияют. Можете взять какую-нибудь простую функцию вроде y = 2x , где площадь и без интегралов легко посчитать в уме, и проверить. Работает!

Эта формула и называется основной теоремой анализа или теоремой Ньютона-Лейбница. Если её доказать, то можно уже называть нахождение первообразной интегрированием и вообще относиться к дифференцированию и интегрированию как к взаимно-обратным операциям.

Истина в пределе [Анализ бесконечно малых] Дуран Антонио

Основная теорема анализа

Основная теорема анализа

Анализ бесконечно малых - своеобразный мост между производными и интегралами: основная теорема анализа гласит, что интегрирование и вычисление производной являются взаимно обратными операциями. Точнее говоря, если мы хотим вычислить интеграл

то, согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию F такую, что

для любого t в интервале между а и b. В этом случае

Функция f должна обладать еще одним свойством - непрерывностью, на котором мы не будем останавливаться подробно.

Рассмотрим на примере, как основная теорема анализа упрощает вычисление интеграла

Этот интеграл в зависимости от его интерпретации можно использовать для расчета площади, ограниченной параболой; площади, ограниченной спиралью Архимеда; а также пути, пройденного телом, которое движется со скоростью v(t) = t 2 .

Согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию, производной которой будет функция t 2 . Это нетрудно сделать с помощью правила вычисления производной степенной функции:

f’(t) = t n-1 .

Отсюда нетрудно вывести, что производная функции t 3 /3 в точности равна t 2 . Следовательно:

Как мы уже упоминали выше, путь, пройденный за 4 секунды телом, которое в течение t секунд движется со скоростью t 2 , определяется интегралом:

Следовательно, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4:

Рассмотрим спираль Архимеда - кривую, получаемую равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Будем считать, что точка движется вдоль луча со скоростью 1м/с, скорость вращения луча постоянна. Чтобы найти площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда, нужно вычислить интеграл

Достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 2?

Именно этот результат получил сам Архимед, который изложил его иначе: «Площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка». В самом деле, так как на первом витке спирали точка проходит вдоль прямой путь, равный 2?, круг этого радиуса будет иметь площадь p ? (2?) 2 = 4? 3 , о чем пишет Архимед.

Автор этой книги не ставил перед собой задачу подробно рассказать о понятиях и методах анализа бесконечно малых. Намного интереснее то, каким образом математики открыли эти понятия и как они изменялись со временем. В следующих главах мы расскажем об интеллектуальной эпопее длиной почти в две тысячи лет. Читатель узнает, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Коши и другие великие математики создавали и последовательно видоизменяли понятия дифференциала, производной, интеграла и предела, пока они не приобрели тот вид, в котором известны нам сегодня.

Первым этапом путевого анализа является идентификация уравнений системы.

В современной эконометрической литературе идентификация понимается как структурная спецификация модели, призванная не только определить значения параметров, но и выделить одну-единственную итоговую структурную модель анализируемых данных.

Проблема идентифицируемости в системе структурных уравнений связана с наличием достаточного числа ограничений, накладываемых на него моделью. Применительно к p-анализу - это проблема соответствия между количеством возможных соотношений между r ij и p ij и числом p ij .

Иначе говоря, проблема идентифицируемости структурных параметров -- это проблема достаточности эмпирических данных для оценки всех коэффициентов модели. Необходимым условием идентифицируемости уравнения является отсутствие среди линейных комбинаций оставшихся уравнений, таких, которые удовлетворяли бы всем ограничениям модели, накладываемым на исследуемое уравнение.

Это эквивалентно так называемому условию порядка: для того чтобы уравнение в системе из т линейных структурных уравнений было идентифицируемо, необходимо, чтобы в нем отсутствовало по меньшей мере т -- 1 переменных из т + к переменных, встречающихся в модели. Обозначим через т число эндогенных переменных в модели, к -- число предопределенных переменных, h -- число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении, g -- число предопределенных переменных в рассматриваемом уравнении. Тогда условие порядка может быть записано в форме т+к -- h -- g > m -- 1 или к -- g > h -- 1.

Структурное уравнение называется идентифицируемым, если оно удовлетворяет условию порядка; в случае точного равенства уравнение называется точно идентифицируемым, при строгом неравенстве -- сверхидентифицируемым.

Следующим этапом является оценивание структурных параметров. Для структурных моделей, построенных на основе p-коэффициентов, оценка p ij производится не методом наименьших квадратов, а с помощью такого приема. Запишем уравнение (3) следующим образом: или иначе (9)

Используем коэффициенты корреляции между зависимой переменной и каждой из объясняющих переменных: (10)

где n- число наблюдений.

Подставляя в (10) вместо x i правую часть выражения (10), получим: (11)

В этом преобразовании учтено, что корреляция u i , с х j по определению равна нулю. Если учесть, что r ij =1, то соотношение (11), называемое основной теоремой путевого анализа, можно записать так: (12)

Здесь j указывает на объясняющую переменную, связь которой с объясняемой переменной i раскрывается в структурной модели, к пробегает по подмножеству всех переменных, непосредственно влияющих на i-ю переменную (на графе эти вершины связаны с вершиной i дугами). Соотношение (12) справедливо для любой рекурсивной системы.

Путевой анализ позволяет произвести декомпозицию корреляции r ij . Введем понятия «полная (совокупная) связь», «совокупное влияние», «прямое влияние», «косвенное влияние». Если коэффициент корреляции нулевого порядка r ij рассматривать как измеритель полной связи двух переменных, то мерой совокупного влияния j-й переменной на i-ю переменную (q ij) будет являться ее часть, не зависящая ни от общих для них переменных -- причин, ни от корреляции между общими для j-й и i-й переменных причинами (компоненты ложной корреляции), ни от наличия не анализируемой в модели априорной корреляции предопределенных переменных -- входов.

Таким образом, мы можем разложить полную связь двух переменных на четыре составляющие с учетом постулируемой в модели асимметрии воздействия: на совокупное влияние (причинное влияние) j-й переменной на i-ю, на две компоненты, измеряющие эффект ложной корреляции, и на компоненту, еще не имеющую общепринятого названия. В свою очередь, совокупное влияние может быть разложено на две составляющие с учетом того, каким образом оно осуществляется -- непосредственно или через другие переменные.

Прямое влияние одной переменной на другую измеряется коэффициентом p ij ; в этом случае в цепи между объясняющей и объясняемой переменными нет промежуточных звеньев. Косвенное влияние -- это влияние тех составляющих совокупного влияния одной переменной на другую, которое образуется при учете эффекта передачи воздействия через посредство переменных, специфицированных в модели как промежуточные звенья в причинной цепи, связывающей изучаемые переменные. Поскольку строение совокупного влияния всецело зависит от постулируемой причинной структуры отношений между переменными, то и все введенные выше понятия имеют смысл только лишь по отношению к причинной модели с заданным графом связей.

Понятие об интегрировании, и в некоторой мере о дифференцировании, было хорошо развито раньше работ Ньютона и Лейбница. Но было совершенно необходимо сделать одно очень простое открытие, для того чтобы дать толчок к огромной эволюции вновь созданного математического анализа. Два как будто бы взаимно не соприкасающихся предельных процесса, употребляемые один для дифференцирования, другой для интегрирования функций, оказались тесно связанными между собой. В самом деле, они являются взаимно обратными операциями, подобно таким операциям, как сложение и вычитание, умножение и деление. Дифференциальное и интегральное исчисления представляют собой нечто единое.

Великое достижение Ньютона и Лейбница заключается в том, что они впервые ясно осознали и использовали эту основную теорему анализа. Без сомнения, их открытие лежало на прямом пути естественного научного развития, и нисколько не удивительно, что различные лица пришли независимо и почти одновременно к ясному пониманию указанного выше обстоятельства.

Рис. 274. Интеграл как функция верхнего предела

Для того чтобы точно сформулировать основную теорему, рассмотрим интеграл от функции в пределах от постоянного числа а до числа х, которое будем считать переменным. Чтобы не смешивать верхнего предела интегрирования х с переменной, фигурирующей под знаком интеграла, запишем интеграл в следующем виде (см. стр. 459):

демонстрируя таким образом наше намерение изучать интеграл как функцию своего верхнего предела (рис. 274). Эта функция есть площадь под кривой от точки до точки Иногда интеграл с переменным верхним пределом называют «неопределенным интегралом».

Основная теорема анализа читается следующим образом: Производная неопределенного интеграла (1) по его верхнему пределу х равна значению функции в точке

Другими словами, процесс интегрирования, ведущий от функции к функции «уничтожается» обратным ему процессом дифференцирования, применяемым к функции

Рис. 275. К доказательству основной теоремы

На интуитивной основе доказательство этого предложения не представляет труда. Оно базируется на интерпретации интеграла как площади, и было бы затемнено, если бы мы попытались представлять функцию в виде графика и истолковывать производную как соответствующий наклон. Оставляя в стороне установленную ранее геометрическую интерпретацию производной, мы сохраним геометрическое толкование интеграла как площади, а дифференцировать функцию станем аналитическим методом. Разность

есть просто площадь под кривой между пределами (рис. 275), и нетрудно понять, что числовое значение этой площади заключено между числами

где являются (соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции в промежутке от до Действительно, эти произведения дают площади двух прямоугольников, из которых один содержит рассматриваемую криволинейную область, а другой содержится в ней.

Отсюда следует:

Предположим, что функция непрерывна, так что при стремлении обе величины стремятся к значению функции

в точке , т. е. к значению В таком случае можно считать доказанным, что

Интуитивный смысл этого результата заключается в том, что при возрастании скорость изменения площади под кривой равна высоте кривой в точке х.

В некоторых руководствах содержание этой основной теоремы затемняется вследствие неудачно выбранной терминологии. Именно, многие авторы сначала вводят понятие производной, а затем определяют «неопределенный интеграл» просто как результат операции, обратной по отношению к дифференцированию: они говорят, что функция есть неопределенный интеграл от функции если

Таким образом, этот способ изложения непосредственно связывает дифференцирование со словом «интеграл». Только позднее вводится понятие «определенный интеграл», трактуемое как площадь или как предел последовательности сумм, причем недостаточно подчеркивается, что слово «интеграл» обозначает теперь нечто совершенно другое, чем прежде. И вот оказывается, что самое главное, что содержится в теории, приобретается лишь украдкой - через заднюю дверь, и учащийся встречается с серьезными затруднениями в своих усилиях понять существо дела. Мы предпочитаем функции для которых называть не «неопределенными интегралами», а первообразными функциями от функции Тогда основная теорема может быть сформулирована следующим образом:

Функция являющаяся интегралом от функции при постоянном нижнем и переменном верхнем пределе х, есть одна из первообразных функций от функции

Мы говорим «одна из» первообразных функций по той причине, что если является первообразной функцией от то непосредственно ясно, что и любая функция вида (с - произвольная постоянная) есть также первообразная, так как Обратное утверждение также справедливо. Две первообразные функции могут отличаться одна от другой не иначе, как постоянным слагаемым. Действительно, разность имеет в качестве производной т.е. эта разность постоянна, так как очевидно, что если график функции в каждой

Основная теорема анализа

Основная теорема анализа или формула Ньютона - Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной

Формулировка

Рассмотрим интеграл от функции y = f (x ) в пределах от постоянного числа a до числа x , которое будем считать переменным. Запишем интеграл в следующем виде:

Данный вид интеграла называется интегралом с переменным верхним пределом. Используя теорему о среднем в определённом интеграле , легко показать что данная функция непрерывная и дифференцируемая. А также производная от данной функции в точке x равна самой интегрируемой функции. От сюда следует, что любая непрерывная функция имеет первообразную в виде квадратуры: . А так как класс первообразных функций функции f отличается на константу, легко показать, что: определенный интеграл от функции f на равен разности значений первообразных в точках b и а

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Плеяда
• 6174 (число)

Смотреть что такое "Основная теорема анализа" в других словарях:

Основная теорема о вычетах - Теорема о вычетах явлется мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Ее часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной… … Википедия

Основная теорема алгебры - утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел… … Википедия

Теорема Ньютона - Формула Ньютона Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет … Википедия

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона - Лейбница - Основная теорема анализа или формула Ньютона Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной Формулировка Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до… … Википедия

Интеграл - Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции … Википедия - для функции это совокупность всех первообразных данной функции. Если функция определена и непрерывна на промежутке и её первообразная, то есть при, то … Википедия