Расчет статически неопределимой шарнирной стержневой опоры примеры. Расчёт стержневых систем. Канонические уравнения метода сил

Общие сведения

Расчет статически неопределимых систем методом сил начинают с вы­явления степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости любой системы может быть установлена по формуле, которая для выявления степени статической неопределимости рам будет иметь вид:

Л = 3К - Ш, (23)

где Л – число лишних связей, К – число контуров, а для неразрезных балок - формулой (24):

Л = С оп - 3, (24)

где С оп - число опорных стержней.

Остановимся на применении формулы (23).

Пример 7.1.

Пользуясь формулой (23), опреде­лить степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Рама

Решение

Рама состоит из двух замкнутых контуров I и II. Шарнирно-неподвижная опора А равноценна одному простому шарниру, шарнирно-подвижная опора В - двум шарнирам. Следова­тельно, Ш= 1 + 2 = 3.

Степень статической неопределимости Л = 3К - Ш=3∙2 - 3 ==3 - рама трижды ста­тически неопределима.

Пример 7.2.

Определить степень статической неопределимости рамы, приведенной на рис. 7.2.

Рис. 7.2. 3-х контурная рама. Рис. 7.3. 6-ти контурная рама

Решение

Рама имеет три замкнутых контура (I, II и III). Сум­марное число шарниров Ш = 6 (два простых шарнира - Е и F и две шарнирно подвижные опоры -A и D). Число лишних связей Л =3∙3 - 6=3. Следовательно, рама трижды статически неопределима.

Пример 7.3.

Определить степень статической неопределимости рамы, изображённой на рис. 7.3.

Решение

В этой раме шесть замкнутых контуров. Простых шар­ниров - три (шарниры F,H и I ). Шарнир G - двукратный, как соединяю­щий три стержня. Каждая из шарнирно-подвижных опор А, В, D и Е эквивалентна двум простым шарнирам, а шарнирно-неподвижная опора С - одному. Следовательно, Ш = 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. Тогда степень статической неопределимости Л =3∙6-14 =4. Таким образом, рама имеет четыре лишние связи, т. е. является четырежды статически неопределимой.

После того как будет установлена степень статической неопределимости, выбирают основную систему.

Выбор основной системы

Основной системой будем называть геометрически неизме­няемую статически определимую систему, полученную из заданной стати­чески неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.

На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама - заданная система. Степень статической неопределимости этой системы:

Л = 3К - Ш =3∙1-0 =3.

Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи; по­следнее может быть выполнено различными способами, но в результате применения любого из них полученная основная система должна быть геометрически неизменяемой.

Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалент­ной трем лишним связям.

Рис. 7.4. Выбор основной системы

Теперь сечение В основной системы может перемещаться по горизонталь­ному и вертикальному направлениям и поворачиваться в плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует правая защемляющая опора.

Чтобы устранить различие между заданной и основной системами, поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему заданной нагрузкой q и вточке В ее, по направлениям указанных переме­щений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные, горизонтальную и вертикальную силы Х 1 ; Х 2 и момент Х 3 .

Величины Х 1 ; Х 2 ; X 3 называются лишними неизвестными и являются искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшен­ных лишних связей на заданную систему.

Обращаем внимание, на то, что основная система, нагружен­ная заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внут­ренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопре­делимой.

Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной задан­ной нагрузкой и лишними неизвестными.

Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулю суммарного пере­мещения по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом, три канонических уравнения, имеющих следующий вид:

δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆ 1 p = 0

δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 p = 0 (25)

δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3 p = 0

Где δ 11 -перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 11 X 1 -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное полным значением X 1 ;

δ 12 - перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы, вызванное единич­ной силой

δ 12 X 2 - перемещение той же точки в том же направле­нии, вызванное полным значением силы Х 2 ;

δ 13 - перемещение точки приложения силы Х х по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 13 X 3 - перемещение той же точки в том же направлении, вызван­ное полным значением силы Х 3 ;

∆ 1 p -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной нагрузкой; δ 21 X 1 - перемещение точки приложения силы Х 2 по направлению этой силы, вызванное силой X 1 , и т. д.

Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз стати­чески неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для любой трижды статически неопределимой системы.

Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вы­числению единичных δ ik и грузовых ∆ ip перемещений.

Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном состояниях основной системы.

Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она находится только под действием заданной нагрузки.

Единичным будем называть состояние основной системы, при ко­тором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, дейст­вующей в направлении неизвестной реакции X t .

Заметим, что число единичных состояний основной системы должно соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,

т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им грузовую М р и единичные M 1 , M 2 , ..., М п эпюры изгибающих моментов.

Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единич­ные δ ik и грузовые ∆ ip перемещения.

Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о взаимности пере­мещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с взаимно пере­ставленными индексами равны между собой, т. е. δ ik = δ ki .

Вычисленные значения δ ik и ∆ ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X 1 , X 2 , ..., Х п.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X 1 = А 1 ;Х 2 = А 2 , ..., Х п = А п, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры М р с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

Умноженными на X 1 , ординатами эпюры , умноженными на Х 2 ..., и ординатами эпюры , умноженными на Х п, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ 11 , δ 22 , δ 33 и т.д.) принято называть главными перемещениями , а с разными индексами

(δ 12 , δ 13 , δ 23 и т.д.) - побочными .

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.

Для того чтобы стержневые системы (балки, рамы и т. п.) могли служить сооружениями и выдерживать внешние нагрузки, необходимо наложить на них определенные связи, которые делят на связи внешние и внутренние. Под связью обычно понимают тела (препятствия), ограничивающие перемещение другим телам, точкам или сечениям конструкции. На практике такие тела называют опорными устройствами, фундаментами и т. п. В инженерных расчетах вводится понятие идеальных связей. Если, например, на левый торец бруса (рис. 1.1, а) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, то говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно она изображается в виде стержня с двумя шарнирами. Если запрещено вертикальное и горизонтальное смещения, то на систему наложены две внешние связи (рис. 1.1, б). Заделка в плоской системе дает три внешние связи (рис 1.1, в), препятствующие вертикальному, горизонтальному смещениям и повороту сечения заделки. лд Рис. 1.1 Для того чтобы закрепить тело (стержень) на плоскости и обеспечить ему геометрическую неизменяемость, необходимо и достаточно наложить на него три связи (рис. 1.2), причем все три связи не должны быть взаимно параллельными и не должны пересекаться в одной точке. В дальнейшем связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость системы и ее статическую определимость, будем понимать как необходимые связи. Геометрически неизменяемой системой называют такую систему, которая может изменять свою форму только за счет деформации ее элементов (рис. 1.2), в то время как геометрически изменяемая система может допускать перемещения и при отсутствии деформации (рис. 1.3). Такая система является механизмом (рис. 1.3, а). 5 Рис. 1.2 Наряду с отмеченными различают еще мгновенно изменяемые системы, под которыми понимают системы, допускающие бесконечно малые перемещения без деформации ее элементов (рис. 1.4). Рис. 1.3 Так, например, под действием силы P, приложенной в шарнире Д (рис. 1.4, а), стержни ДВ и ДС без деформации повернутся относительно шарниров В и С на бесконечно малый угол d . Тогда из условия равновесия, вырезанного при малом значении величины силы P усилия в стержнях ДВ и ДС будут стремиться к бесконечности, вызывая осевую деформацию стержней и изменяя положение системы. 6 Рис. 1.4 Для рамы на рис. 1.4, б при рассмотрении уравнения статики момент силы P не уравновешивается (реакция R1 ,не может вызывать момента относительно рассматриваемой точки, так как линия ее действия проходит через эту точку). Аналогичная особенность проявляется и для системы, показанной на рис. 1.4, в. Момент силы P относительно точки k не уравновешивается. Таким образом, эти системы также допускают бесконечно малые перемещения (относительно моментной точки) без деформации их элементов. В сооружениях и конструкциях такие системы недопустимы. Если геометрически неизменяемая система имеет помимо необходимых еще и дополнительные связи, то независимых уравнений статики оказывается недостаточно для определения неизвестных усилий (реакций связей) и такая система называется статически неопределимой. Разница между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и числом независимых уравнений статики характеризует степень статической неопределимости, которую принято обозначать символом n . Так, балка и рама, представленные на рис. 1.5, являются два раза (дважды) статически неопределимыми. В этих схемах число неизвестных реакций равно пяти, а число независимых уравнений статики, которые можно составить для каждой из них, равно трем. Всякий замкнутый контур представляет собой систему трижды статически неопределимую (рис. 1.6). Рис. 1.6 Постановка одиночного шарнира снижает степень статической неопределимости системы на единицу (рис. 1.7, а), поскольку изгибающий момент в шарнире отсутствует. Под одиночным шарниром понимают шарнир, соединяющий концы двух стержней. Рис. 1.7 Шарнир, включенный в узел, где сходятся концы нескольких стержней, понижает степень статической неопределимости системы на число одиночных шарниров, определяемых по формуле О=С–1. Здесь под C понимают число стержней, сходящихся в узле. Например, в раме (рис. 1.7, б) число одиночных шарниров О=С–1=3-1=2, поэтому степень статической неопределимости понижается на две единицы и становится равной n4 .

Расчет статически определимых рам

Основные понятия Рамой называют стержневую систему, у которой все или некоторые узловые соединения являются жёсткими (рис. 1.8 а). Жёсткий узел характеризуется тем, что угол между осями стержней, которые его образуют, не изменяется при действии нагрузки (рис. 1.8 а). Угол между касательными к упругим линиям ригеля и наклонной стойки в узле В сохраняет неизменную величину α, а угол между касательными к упругим линиям того же ригеля и правой стойки в узле D сохраняет неизменную величину β. Рамы могут быть плоскими, когда все оси стержней лежат в одной плоскости (рис 1.8 а, б, в) и пространственными (рис. 1.8 г). Горизонтальный стержень рамы называют ригелем, а стержни, его поддерживающие, называют стойка. Левая стойка наклонная, а правая вертикальная. Рамы могут быть простыми, состоящими из трёх стержней (рис 1.8), сложными, многопролётными (рис 1.8 б) и многоярусными (рис 1.8 в). Также они подразделяются на статически определимые (рис 1.8 б), когда число неизвестных реакций, усилий меньше или равно числу независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для данной рамы, и статически неопределимые, если это условие не выполняется (рис 1.8 а, в, г), об этом будет сказано далее. В отличии от балок, в сечениях рам, наряду с изгибающими моментами, поперечной силой, возникает еще и продольная сила. Рис. 1.8 Определение усилий (М, Q, N) выполняются также, как и в балках посредством метода сечений (РОЗУ). При этом правило знаков для изгибающего момента М и поперечной силы Q такое же, как для балок, а для продольной силы N, как в 9 стержнях при растяжении – сжатии. Определение нормальных n и касательных напряжений производится по тем же зависимостям, как в балках, если стержень испытывает изгиб. В случае сложного сопротивления, когда наряду с изгибающим моментом возникает в стержне еще и продольная сила, то расчет ведется как и при изгибе с растяжением – сжатием, излагаемым в разделе "Сложное сопртивление”. Пример 1.1 Для заданной рамы (рис.1.9) построить эпюры внутренних усилий и найти величину и направление полного перемещения сечения К, если Р = 5кН; q = 10 кН/м; EIz = const; сечения стоек и ригеля одинаковые I = 8000 см4: 1. Находим реакции опор: а) вертикальные реакции V1,V2: б) горизонтальные реакции Н1 и Н2: 2. Строим эпюры внутренних усилий М, Q, N. а. Построение эпюры изгибающих моментов М.

Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил

Выбираем точку наблюдения, считая, что она находится внутри контура. В этом случае поля расположены выше участков 1-3, 3-4, 4-К, 4-2, рассматриваются как внешние, а внутри контура – внутренние. При определении изгибающих моментов придерживаемся так же правил, что и в балках. Вычисляем моменты в характерных сечениях каждого из участков рамы. Участок 1-3. Момент на конце со стороны опоры – 1, М13 = 0. Момент в узле 3, Знак минус потому, что на участке 1-3 нижняя отсеченная часть изгибается выпуклостью вверх по отношению к наблюдателю. Участок 3-4 (ригель). Момент в начале участка (в сечении узла 3) М34 , такой же, как и на стойке 1– Момент В шарнире момент равен нулю. Участок 2-4 (наклонная стойка) Участок 4-К В начале участка момент МК4 = 0. В конце участка Эпюра изгибающих моментов показана на (рис. 1.10, а) 11 Рис. 1.10 Выполняем проверку правильности построения эпюры М. Если эпюра М построена верно, то любой внеопорный узел или любая часть рамы под действием внешних и внутренних сил должна находиться в равновесии. Вырежем из рамы сечениями бесконечно близкими к узлу, например, узел (4) и рассмотрим его равновесие. Значения моментов берем в соответствующих сечениях из эпюры М (рис. 1.10, б). Уравнения моментов узла (4) имеет вид

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Условие выполняется, значит в примыкающих к узлу (4) сечениях моменты определены верно. Аналогично выполняется проверка в узле (3) и т. д. Примечание Если в узле приложены сосредоточенные внешние усилия (момент или силы) то они должны быть учтены при проверке. Распределенная нагрузка не показывается, т. к. dx – малая величина. б. Построение эпюры поперечных сил Q. Придерживаемся того же правила знака, как для балок: если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа вниз поперечная сила Q > 0, если наоборот – т Участок 1–3. При рассмотрении левой отсеченной части 10 кН.(минус потому, что левая отсеченная часть находится под воздействием силы Н1 12 направленной вниз, если смотреть на отсеченную часть из точки наблюдателя). Поперечная сила постоянна по длине этого участка (рис. 1.11, а) Рис. 1.11 Участок 3-4 Поперечная сила в любом сечении, взятом на расстоянии х от узла (3) при рассмотрении сил действующих от сечения слева, равна 103 01QV xqx. При х = 0, получим поперечную силу в сечении левее узла (3), т. е. Q34 30кН; при х = 3 м, получаем поперечную силу Q, т. е. в сечении левее узла (4). Поперечная сила на участке 3–4 изменяется по линейному закону (рис.1.11, а). Участок 4–К. В сечении на расстоянии х от правого конца участка (рис. 1.11, а) поперечная сила равна (линейный закон). При х = 0, получаем, а при х = 3 м, получаем Участок 2–4. Поперечную силу в сечении этого участка получим, проектируя внешние силы Н2, V2, приложенные в точке 2 (рис. 1.11,а) на ось У, перпендикулярную продольной оси стержня. По длине участка 3–4 поперечная сила постоянная. Эпюра поперечных сил изображена на (рис. 1.11, а).

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости стержневых систем

в. Построение эпюры продольных сил N. Вычисляем продольную силу в сечении каждого участка. Участок 1–3. Рассматриваем нижнюю часть (рис. 1.12) Минус взят потому, что продольная сила, уравновешивающая реакцию V1, направлена к сечению, т. е. навстречу реакции V1, значит отсеченный участок испытывает сжатие. Если бы продольная сила была направлена от сечения, то знак N – положителен. Участок 3-4 (на ригеле). Продольная сила N30 кН, отрицательна, так как сжимающая. В сечении х (рис.1.12, б) на участке 4-К: перпендикулярны продольной оси участка. Участок 2–4. Рис. 1.12 На наклонной стойке в сечении х продольную силу находим, проектируя внешние силы V2 и Н2 на ось Х, совпадающею с осью стержня (рис. 1.12): 34 5 4 (сжатие), Поэтому присваиваем знак минус N24 кН. 14 Эпюра продольных сил изображена на (рис. 1.11, б). 3. Определяем перемещения сечения К. Для этого используем интеграл Мора, формулы А.К. Верещагина, Симпсона, (см. раздел "Прямой изгиб”). Определяем вертикальное перемещение сечения К. Для этого освобождаем раму от всех внешних нагрузок (q, Р) и прикладываем в этом сечении единичную безразмерную силу (рис.1.13, а). Направление силы принимаем сами, например, в низ.

Расчет методом сил статически неопределимых систем, работающих на растяжение или сжатие

Рис. 1.13 На рис. 1.13, а представлена эпюра изгибающих моментов М1 от этой силы. Производим перемножение эпюр М и М1 по способу Верещагина, находим вертикальное перемещение сечения К. На участке 4-К использовалась формула Симпсона, а на участке 2-4 формула Верещагина. Определяем горизонтальное перемещение сечения К. Для этого раму освобождаем от внешних нагрузок, загружаем единичной безразмерной силой, приложенной горизонтально (рис.1.13, б). Эпюра от этой силы показана на рис. 1.13, б. Вычисляем горизонтальное перемещение, используя формулы Верещагина и Симпсона. Знак минус указывает, что действительное горизонтальное перемещение направлено в противоположенную сторону приложения единичной силы, т. е. влево. 15 Находим полное перемещение сечения К как геометрическую сумму найденных перемещений. Направление полного перемещения определяется углом (рис 1.14, б). Определяем угол поворота сечения К. Прикладываем в сечении К единичный безразмерный момент (рис.1.14, а) и строим от него эпюру изгибающих моментов.

Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил в матричной форме

Рис. 1.14 Производим перемножение эпюр М и М3, используя формулу Верещагина, находим угол поворота сечения К: 16 1.3. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил Наиболее широко применяемым методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем определяется так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы или моменты, действующие в местах отброшенных или рассеченных связей. Отсюда и название «метод сил». Сущность метода сил рассмотрим на примере расчета статически неопределимой рамы, изображенной на рис. 1.15. Считаем, что внешняя нагрузка, размеры и жесткости стержней известны. Порядок расчета 2.1. Устанавливаем степень статической неопределимости, для чего используем выражение, где X – число неизвестных (имеется 5 внешних связей); Y – число независимых уравнений статики, которые можно составить для рассматриваемой системы. Для заданной рамы число неизвестных реакций равно пяти, а число независимых уравнений трем, так как система сил плоская и произвольно расположенная, поэтому Система два раза статически неопределима. 2.2. Преобразуем заданную систему в статически определимую, геометрически неизменяемую и эквивалентную заданной системе, т. е. образуем основную систему. Для этого удаляем лишние связи путем их отбрасывания или перерезания. На рис. 1.15 изображена основная система, полученная путем отбрасывания лишних опорных связей, а на рис. 1.16 основные системы образованы путем отбрасывания и перерезания связей. Например, (рис. 1.16, а) в опоре А отброшена горизонтальная связь и в опоре С перерезана связь, препятствующая повороту сечения. Таким образом, для каждой статически неопределимой стержневой системы можно Рис. 1.15 17 подобрать несколько вариантов основных систем (рис. 1.15, 1.16). Необходимо особо обратить внимание на то, что при образовании основной системы метода сил недопустимо введение новых связей. Желательно, чтобы основная система была рациональной, т. е. такой, для которой легче строить эпюры внутренних силовых факторов и объем вычислений был наименьшим. Такая система показана на рис. 1.15 (вариант I). Здесь нет необходимости определять опорные реакции, если строить эпюры со свободного (незакрепленного) конца рамы. Рис. 1.16 2.3. Образуем эквивалентную систему путем нагружения основной системы внешними силами и усилиями отброшенных (перерезанных) связей (рис. 1.17). Неизвестные силовые факторы будем обозначать символом Xi, где i – номер неизвестного. Если отброшенные связи запрещают линейные перемещения, то неизвестными являются силы, при запрете угловых смещений – моменты. Если же основная система была получена путем перерезания лишних связей, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям рассеченной системы в местах перерезания. В рассматриваемом примере X1 и X2 представляют собой вертикальную и горизонтальную составляющие реакции шарнирной опоры А. 2.4. Составляем канонические уравнения метода сил, которые выражают в математической форме записи условия эквивалентности основной и заданной систем. Иначе они выражают условия, обозначающие, что относительные перемещения по направлению удаленных лишних связей от совместного действия внешней нагрузки и неизвестных усилий должны быть равны нулю. Для эквивалентной системы рассматриваемого примера на основании принципа независимости действия сил и рис. 1.18 канонические уравнения запишутся в форме

К фермам с оговоркой можно отнести шпренгельные балки, представляющие собой комбинацию двух- или трёхпролётной неразрезной балки и подпружной тяги; они характерны для стальных и деревянных конструкций, с верхним поясом из неразрезного прокатного профиля (пиленые брусья или пакеты клееных досок). Также могут быть шпренгельные железобетонные фермы небольших пролётов.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

где 11 – относительное перемещение в основной системе по направлению лишней неизвестной X1, вызванное этим же усилием; 12 – относительное перемещение по направлению лишней неизвестной Х1, вызванное усилием X2; 1P – относительное перемещение по направлению действия неизвестной X1, вызванное заданной нагрузкой. Рис. 1.18 Физический смысл этих уравнений. Первое уравнение отрицает возможность вертикального перемещения опорного сечения А по направлению лишнего неизвестного X1 от совместного действия заданной нагрузки Р и полных значений неизвестных X1 и X2. Аналогичный смысл имеет и второе уравнение. В указанной форме (1.1) использование уравнений при инженерных расчетах затруднительно, поэтому преобразуем их к новому виду. С учетом того, что для линейных систем справедливо выражение можно записать: где 11 – относительное перемещение в основной системе по направлению действия силы X1 от действия силы X1 1 (рис. 1.19); 21 – относительное перемещение в основной системе по направлению действия силы X2 от действия силы X1 1. Здесь X1 и X2 – действительные значения реакций отброшенных связей. Тогда канонические уравнения метода сил (1.1) запишутся в виде По аналогии для n раз статически неопределимых систем канонические уравнения имеют вид Здесь коэффициенты с одинаковыми индексами называют главными, а называют побочными коэффициентами. Главные коэффициенты всегда положительны. Побочные коэффициенты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. 1P  – называются свободными или грузовыми коэффициентами. 2.5. Определяем коэффициенты канонических уравнений. Эти коэффициенты представляют собой перемещения точек системы в направлении отброшенных связей, следовательно, их можно найти посредством интеграла Мора: Порядок определения коэффициентов: Рис. 1.19 20 а) строим эпюры изгибающих моментов для основной системы от заданной внешней нагрузки P и от единичных усилий отброшенных связей X11 (рис. 1.20); Рис. 1.20 б) вычисляем коэффициенты канонических уравнений. Поскольку рассматриваемая система состоит только из прямолинейных стержней и жесткости стержней в пределах их длин постоянны, то вычисления интеграла Мора производим по способу А.К. Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр с использованием формул Симпсона и трапеций: 2.6. Записываем систему канонических уравнений. После подстановки найденных коэффициентов в уравнение (1.3) получаем: Решаем систему уравнений и находим неизвестные усилия, кН: Примечание. Если знак усилия получился отрицательный, то это означает, что действительное усилие (реакция) направлено в противоположную строну, чем усилие Xi, принятое в эквивалентной системе. Таким образом, раскрывается статическая неопределимость системы. 2.7. Строим окончательные (действительные) эпюры внутренних силовых факторов для заданной системы. Построение эпюр можно выполнить двумя способами. Первый способ Загружаем основную систему заданной нагрузкой и найденными усилиями X1 и X2 (рис. 1.17), после чего строим эпюры М, Q, и N также, как для обычной статически определимой системы. Построенные таким способом эпюры показаны на рис. 1.21, где ординаты эпюры изгибающих моментов отложены со стороны растянутых волокон. Такой метод наиболее удобен для простых систем. Второй способ Вычисляем значения изгибающих моментов в любом (обычно характерном) сечении на основании принципа независимости действия сил по формуле 22 где k – номер сечения, для которого определяется значение изгибающего момента; n – степень статической неопределимости системы. Рис. 1.21 При этом, если найденное усилие Xi имеет отрицательный знак, то соответствующую эпюру Mi необходимо зеркально отобразить относительно осей стержней. При определении действительных значений изгибающих моментов ординаты моментов в расчетных сечениях берутся из эпюр M1, M2 и MP с учетом их знаков. Знаки моментов в рассматриваемом сечении определяются в зависимости от того, с какой стороны от базовой линии расположены ординаты моментов и от положения точки наблюдателя. В нашем случае принимаем, что точка наблюдателя расположена внутри контура, поэтому за положительные значения моментов принимаются моменты, которые вызывают в расчетном сечении растяжение внутренних волокон, а отрицательные – внешних волокон контура. Например, для сечения Д рамы получаем Аналогично и для других сечений. Окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной системы показана на рис. 1.21, а. 23 2.8. Проводим деформационную проверку правильности построения действительной эпюры изгибающих моментов. Смысл деформационной проверки состоит в подтверждении отсутствия перемещений в основной системе в направлении отброшенных (перерезанных) связей при найденных значениях неизвестных усилий. Так, если неизвестные усилия найдены правильно, то для рассматриваемого примера должны удовлетворяться равенства: Если построить эпюру единичных моментов 2то проверку называют проверкой на групповое перемещение (рис. 1.22): Отсутствие перемещения подтверждает правильность решения задачи. Если выполненные расчеты не подтверждают отсутствие перемещений точек основной системы в направлении отброшенных связей, то для выявления ошибки расчета необходимо проверить правильность определения коэффициентов канонических уравнений по формуле При отсутствии равенства в этом уравнении выполняется построчная проверка коэффициентов канонических уравнений. Первая строка: . Если нет ошибки расчета в этой строке, то должно соблюдаться условие: Аналогично можно выполнить проверки 2-й и других строк. При выполнении указанных проверок следует проверить правильность расчета грузовых коэффициентов: 2.9. Строим эпюру поперечных сил Q по эпюре изгибающих моментов М путем последовательного вырезания стержней из заданной системы и рассмотрением их как шарнирно опертых статически определимых балок. По концам стержней прикладываем моменты, значения и направления которых выбираем из эпюры М в соответствующих сечениях. При наличии внешних сил прикладываем их на соответствующих участках. Определяем опорные реакции из условия статического равновесия и строим эпюру Q как обычно для статически определимых балок. Для заданной рамы (рис. 1.15) при построении эпюры поперечных сил для стойки вырезаем участок АВ и в сечении В прикладываем момент В 3 , 56 M P взятый из эпюры действительных моментов М (рис. 1.21, б). Определяем опорные реакции из рассмотрения равновесия 3 P и строим эпюру поперечных сил Q (рис. 1.23). Рис. 1.22 25 Аналогичным образом вырезаем горизонтальный стержень (ригель) ВС, рассматриваем его равновесие и строим эпюру Q для этого участка рамы (рис. 1.24). Переносим эпюры Q для отдельных стержней на задан ную систему. Окончательная эпюра поперечных сил для заданной рамы показана на рис 7.14, б. Построение эпюры поперечных сил по эпюре изгибающих моментов возможно и на основании дифференциальной зависимости: где α – угол наклона прямой, очерчивающей эпюру изгибающих моментов, к базовой линии (оси бруса). Поперечная сила считается положительной, если изгибающий момент возрастает в направлении оси. Для рассматриваемого примера: 2.10. Производим построение эпюры продольных сил N.
Рис. 7.16 Рис. 1.24 26 Для этого используем метод вырезания узлов (вырезаем только внеопорные узлы сечениями, бесконечно близкими к узлу) и рассматриваем их равновесие под действием внешней нагрузки (если такова приложена к узлам) и усилий в отброшенных (перерезанных) связях. Вырезаем узел В. Прикладываем к нему поперечные силы, взятые в соответствующих сечениях из эпюры Q (рис. 1.23, б). Узел должен находиться в равновесии (рис. 1.25) под действием поперечных и продольных сил (неизвестных). Определяем неизвестные продольные силы из условия статического равновесия. Эпюра продольных сил показана на рис. 1.23, в. 2.11. Проводим окончательную проверку правильности решения задачи. Система (рама), внеопорный узел или какая-нибудь часть системы должны находиться в равновесии под действием внешней нагрузки и усилий отброшенных (перерезанных) связей. Для заданного примера рассматриваем равновесие рамы, используя уравнения статики (рис. 1.26):

Условие равновесия выполняется. Примечания. 1. Если рама имеет несколько внеопорных узлов, то проверкой охватываются все узлы.

Библиографический список

Рис. 1.25 Рис. 1.26 27 2. При проверке равновесия внеопорного узла необходимо кроме внутренних усилий (M, Q, N), взятых в соответствующих сечениях, приложить еще внешние усилия (сосредоточенные силу и момент), если таковые приложены в узле. В нашем случае нагрузка в узле отсутствует.

Статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых не могут быть определены только из уравнений равновесия (уравнений статики).

Статически неопределимые конструкции имеют так называемые лишние связи. Они могут возникать в опорах, стержнях, других элементах. «Лишними» такие связи называются потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции, а обусловливаются требованиями к ее прочности и жесткости. Такие лишние связи называются внешними. Кроме того, лишние связи могут возникать вследствие особенностей самой конструкции. Например, замкнутый контур рамы (рис. 46, г) имеет по три неизвестных внутренних усилия в каждом сечении, т.е. всего шесть, и три из них являются «лишними». Такие лишние усилия называются внутренними. По числу внешних или внутренних «лишних» связей устанавливают степень статической неопределимости системы. Она равна разности между числом неизвестных, подлежащих определению, и числом уравнений статики. При одной «лишней» неизвестной система называется один раз, или однажды статически неопределимой, при двух - дважды статически неопределимой и т.д.

Конструкция, показанная на рис. 46, а , является один раз статически неопределимой, а конструкции, приведенные на рис. 46, б и в, - дважды статически неопределимыми, на рис. 46, г - три раза статически неопределимой конструкцией.

При решении статически неопределимых задач, кроме уравнений статики, используются уравнения, учитывающие деформации элементов конструкций.

Существует несколько методов решения статически неопределимых задач: метод сравнения перемещений, метод сил, метод перемещений.

Метод сил

При расчете статически неопределимых систем в качестве неизвестных принимаются силы.

Расчет по методу сил проводят в такой последовательности:

• 1. Устанавливают степень статической неопределимости.
• 2. Путем удаления «лишних» связей заменяют исходную систему статически определимой, называемой основной системой. Таких систем можно построить несколько, соблюдая при этом условие их гео

метрической неизменяемости.

• 3. Основную систему нагружают заданными внешними силами и «лишними» неизвестными усилиями, заменяющими действие удаленных связей, в результате чего получают эквивалентную систему.
• 4. Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации основной системы не отличались от деформаций исходной статически неопределимой системы. Для этого перемещения точек приложения «лишних» неизвестных по направлению их действия приравнивают нулю. Из полученных таким образом дополнительных уравнений определяют значения «лишних» неизвестных усилий. Определение перемещений соответствующих точек можно производить любым способом, однако лучше использовать при этом наиболее общий метод Мора.
• 5. После определения значений «лишних» неизвестных усилий выполняют определение реакций и построение эпюр внутренних усилий, подбор сечений и проверку прочности обычным способом.

Канонические уравнения метода сил

Дополнительные уравнения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по направлениям «лишних» неизвестных, удобно составлять в так называемой канонической форме, т.е. по определенной закономерности. Покажем это на примере решения простейшей статически неопределимой системы (рис. 47, а).

Выберем в качестве основной системы консоль, отбросив шарнирную опору. Эквивалентную систему получим после приложения ее внешней силы Т 7 и «лишней» неизвестной Х (рис. 47, б).

Каноническое уравнение , выражающее равенство нулю перемещения точки В от сил Fи Х, будет

Из уравнения имеем

Для системы, имеющей две «лишние» связи, система канонических уравнений имеет вид:

• 8 11 Х 1 + б 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

Перемещения А[р И б [у, входящие в канонические уравнения, определяются по методу Мора.

Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, вычисления перемещений удобно производить по способу Верещагина.

Например, для задачи, изображенной на рис. 47, перемножая эпюры (рис. 48), получим коэффициенты канонического уравнения:

1 2 I 3 1 I /I 2 1 5 Я1 3

Е]Ь ЛЛ =-/ / -/ = -, Е]А ЛР = -------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1Р 2 2 2 2 3 2/ 48 Е]

Получим Хл - - = - Е.

Определив силу Х, мы фактически нашли реакцию опоры Яв. Далее задача определения внутренних силовых факторов может быть решена, как обычно, с помощью метода сечений.

Как уже известно, при расчете некоторых стержневых систем для определения усилий в них недостаточно использовать одни лишь уравнения статики, а необходимо составлять дополнительные уравнения - уравнения деформаций (перемещений). Такие системы называются статически неопределимыми.

В настоящей главе рассмотрены расчеты плоских статически неопределимых стержневых систем. Аналогичными способами рассчитывают и пространственные статически неопределимые системы.

Характерной особенностью статически неопределимых систем (в отличие от статически определимых) является то, что распределение усилий в них зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы систем изготовлены из различных материалов, то распределение усилий также зависит от модулей упругости этих материалов (см. § 9.2).

Расчет статически неопределимой системы начинают с анализа ее схемы. Анализ необходим прежде всего для того, чтобы установить степень статической неопределимости.

Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую, геометрически неизменяемую систему.

Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение фермы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Статически определимая система не имеет ни одной лишней связи; удаление из нее хотя бы одной связи превращает ее в геометрически изменяемую систему, т. е. в механизм.

Балка, показанная на рис. 1.12, а, является системой, один раз (или однажды) статически неопределимой, так как один из опорных стержней представляет собой лишнюю (избыточную) связь балки с опорой (с основанием).

Отбросив один из опорных стержней (рис. 1.12, б) или включив в балку один шарнир (рис. 1.12, в), получим статически определимую, геометрически неизменяемую систему.

Систему, состоящую из ряда элементов (прямых или криволинейных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, будем называть замкнутым контуром.

Прямоугольная рама, изображенная на рис. 2.12, я, представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую необходимо, например, перерезать один из ее элементов (рис. 2.12, б) и тем самым устранить три лишние связи. Реакциями этих связей являются продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действующие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики. В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически неопределим.

Примером сооружения с одним замкнутым контуром является также система, изображенная на рис. 3.12, а. Замкнутым контуром является и бесшарнирная рама, изображенная на рис. 3.12, б; она ограничена снизу землей, которую можно рассматривать как бесконечно жесткий стержень.

В рамной конструкции, представленной на рис. 4.12, а, верхний контур снабжен шарниром; в разрезе, проведенном по этому шарниру, действуют только два внутренних усилия: N и Q (рис. 4.12, б). Такой контур дважды статически неопределим. Если рассматривать всю систему в целом, то она пять раз статически неопределима, так как нижний контур рамы замкнутый и, следовательно, неопределим трижды.

Систему, освобожденную от лишних связей, можно представить состоящей из двух защемленных внизу стержней с горизонтальными консолями (рис. 4.12, б).

Выяснить степень статической неопределимости этой системы можно иначе. Верхний контур рамы, имеющий один внутренний шарнир, дважды статически неопределим (имеет две лишние связи). Кроме того, каждая из заделок дает три составляющие опорной реакции (две силы и момент), т. е. на раму наложено шесть внешних связей, а уравнений статики для плоской системы можно составить лишь три. Следовательно, три внешние связи являются лишними, а всего имеется пять лишних связей, т. е. система пять раз статически неопределима.

Необходимо заметить, что исключение лишних связей для превращения одной и той же статически неопределимой конструкции в статически определимую можно произвести различными способами, однако число отбрасываемых связей всегда одно и то же. Так, например, статически определимые системы, изображенные на рис. 1.12, б, в, получены из статически неопределимой системы (см. рис. 1.12, а); одна - путем удаления промежуточной опоры, а другая - путем постановки промежуточного шарнира, т. е. удаления связи, препятствующей взаимному повороту частей балки, расположенных по обе стороны от введенного шарнира.

Включение шарнира в узел рамы, в котором сходятся два стержня, или же установка его в любое место на оси стержня нарушает (снимает) одну связь и снижает общую степень статической неопределимости системы на единицу. Такой шарнир будем называть одиночным, или простым.

При удалении связей системы необходимо следить за тем, чтобы получаемая конструкция была геометрически неизменяема. Поэтому в раме, показанной на рис. 5.12, а, имеющей одно лишнее опорное закрепление, было бы ошибочным удаление вертикального стерженька (рис. 5.12, б), так как оставшиеся три стерженька не могли бы препятствовать повороту рамы вокруг точки , в которой пересекаются их оси.

Правильный вариант удаления лишнего стержня показан на рис. 5.12, б.

Для конструкций со сложным внутренним образованием можно применить следующий общий прием определения степени статической неопределимости. Идея его заключается в том, что каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий k стержней, снижает степень статической неопределимости на так как такой шарнир заменяет одиночных шарниров (рис. 6.12, а). Поэтому для определения степени статической неопределимости конструкции необходимо взять утроенное количество замкнутых контуров (предполагая, что все шарниры, в том числе и опорные, заменены жесткими соединениями) и затем уменьшить его на число включенных в конструкцию одиночных шарниров, учитывая при этом, что один общий шарнир эквивалентен одиночным шарнирам.

Представим это в виде формулы

где - степень статической неопределимости системы; - число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсутствия шарнирных соединений; - число одиночных шарниров; шарнир, соединяющий два стержня, считается за один (одиночный шарнир), соединяющий три стержня - за два одиночных шарнира (двойной шарнир) и т. д.

На рис. 6.12, б изображены одиночные шарниры, на рис. 6.12, в - двойные, а на рис. 6.12, г - тройные.

Шарнирно неподвижную опору (рис. 6.12, д) можно изображать в виде одного шарнира, связывающего конструкцию с землей (рис. 6.12, е). Если такая опора соединяет с землей один прямой или ломаный элемент конструкции (рис. 6.12, ж) и то ее следует рассматривать как одиночный шарнир, если два элемента (рис. 6.12, з), - то как двойной шарнир, и т. д.

Рассмотрим теперь раму, изображенную на рис. 7.12, а. Эту раму можно представлять как один замкнутый контур с введен ными в него двумя одиночными шарнирами (рис. 7.12, б). Степень ее статической неопределимости на основании формулы (1.12) равна единице:

Раму, изображенную на рис. 7.12, в, можно рассматривать как состоящую из двух замкнутых контуров с введенными в нее пятью одиночными шарнирами (рис. 7.12, г). Следовательно, степень статической неопределимости этой рамы равна единице:

Систему, изображенную на рис. 7.12, д, можно рассматривать как три замкнутых контура, в которые введены три одиночных и один двойной шарнир (посередине правой стойки).

Следовательно, эта система четырежды статически неопределима:

Если в статически определимой системе устранить какую-либо связь, то система, как отмечалось, превратится в геометрически изменяемую. Следовательно, статически определимая система содержит в своем составе такое количество связей, которое является минимально необходимым для обеспечения ее геометрической неизменяемости; избыточные связи (сверх этого количества) создают статическую неопределимость.

Из любой статически неопределимой системы можно устранить по крайней мере одну связь без нарушения ее изменяемости; однако удаление некоторых связей может превратить статически неопределимую систему в геометрически изменяемую. Такие связи статически неопределимой системы являются абсолютно необходимыми. Усилия в них всегда можно определить при помощи одних лишь уравнении статики.

Примером абсолютно необходимых связей являются вертикальные опорные стержни рамы, показанной на рис. 5.12, а; удаление одного из них делает раму геометрически изменяемой.

Связи, удаление которых не превращает статически неопределимую систему в геометрически изменяемую, называются условно необходимыми. Усилия в них нельзя определить при помощи одних лишь уравнений статики. Примером таких связей являются горизонтальные опорные стержни рамы, изображенной на рис. 5.12, а.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра сопротивления материалов

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНО–СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ – СЖАТИИ

Методические указания по выполнению расчетно-графического задания по сопротивлению материалов для студентов всех специальностей

Составитель: В.Д. Моисеенко

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 8 от 29.06.01

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

Введение. Объем и цель задания

Статически-неопределимой шарнирно-стержневой системой называется такая, в которой усилия в стержнях и реакции в опорах нельзя определить только из условия равновесия.

На рис.1 показан обычный кронштейн, состоящий из двух стержней. Усилия N 1 и N 2 в стержнях этого кронштейна легко определяются из условия равновесия системы сходящихся сил, приложенных к вырезанному узлу С, так как два уравнения для этой системы сил с двумя неизвестными решаются.

Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 1,б), то усилия в стержнях прежним образом уже определены быть не могут, так как для узла С по-прежнему можно составить только два уравнения статического равновесия (ΣХ = 0; ΣY = 0), а число неизвестных усилий равно трем. Имеем один раз статически неопределимую систему.

Усложняя конструкцию и вводя новые стержни, можно получить два раза статически неопределимую систему (см. рис. 1,в), три раза и т.д. Следовательно, под n раз статически неопределимой системой понимается такая система, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на n единиц.

Необходимые для решения задачи дополнительные уравнения можно найти, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая связи между перемещениями и деформациями элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместимости деформаций.

На рис.2 приведены схемы некоторых статически неопределимых систем.

Рис.2. Некоторые виды статически неопределимых систем

При изучении раздела "Статически неопределимые стержневые системы" и выполнении данного расчетно-графического задания студент должен усвоить особенности статически неопределимых систем; получить навыки в раскрытии статической неопределимости, в определении усилий в элементах конструкций и подборе площадей поперечных сечений из условия прочности.

В задании студенту необходимо выполнить следующую работу:

- определить усилия в стержнях и подобрать площади поперечных сечений от действия внешних нагрузок;

- определить дополнительные напряжения в стержнях от изменения температуры;

- определить дополнительные монтажные напряжения, вызванные неточностью изготовления стержней;

- подобрать сечения стержней по предельному состоянию.

Объем и форма выполнения расчетно-графического задания зависят от объема изучаемого курса и оговариваются преподавателем на практических занятиях.

1. Краткие теоретические сведения

При решении статически неопределимых задач следует придерживаться следующего порядка:

1.1. Рассмотреть статическую сторону задачи. Построить план сил и составить уравнения статики.

1.2. Рассмотреть геометрическую сторону задачи. Построить план перемещений. Составить дополнительные уравнения совместимости деформаций в таком количестве, чтобы можно было найти все неизвестные усилия.

1.3. Рассмотреть физическую сторону задачи. По законам физики (при температурном расчете) и по закону Гука выразить деформации в уравнениях их совместимости через неизвестные усилия, действующие в стержнях:

	∆l t =α ∆t l		∆l N =
				EF .

1.4. Произвести совместное решение уравнений статики, геометрии, физики и определить неизвестные усилия.

1.5. Используя условия прочности при сжатии или растяжении N/F = [ σ ], произвести подбор площадей поперечных сечений стержней.

1.6. При известных усилиях в стержнях и принятых площадях поперечных сечений вычислить нормальные напряжения по формуле

σ = N F .

2. Пример

Дано: Абсолютно жесткая балка АВ опирается, как показано на рис.3, нагружена равномерно-распределенной нагрузкой и силой Р.

Рис.3. Схема статически неопределимой системы

Исходные данные для расчета

Материал

[σ ]Р ,

[ σ ] СЖ ,

α ,

F СТ

2 105

125 10-7

1 105

165 10-7

Требуется:

Определить усилия (N CТ ; N М ), площади поперечных сечений (F СТ ;

F М ) и напряжения (σ C р Т ;σ М р ) в стальном (СТ ) и медном (М ) стерж-

нях от действия внешних нагрузок Р и q .

;σ М t

Определить дополнительные напряжения в стержнях (σ СТ t

от изменения температуры на ∆ t = + 20 o C.

Определить дополнительные напряжения в стержнях, вызванные

неточностью изготовления вертикального стержня ∆ = 0,1 cм.

4. Определить суммарные напряжения в стержнях от действия нагрузок, изменения температуры и неточности изготовления.

2.1. Расчет статически неопределимой шарнирностержневой системы на внешнее нагружение

P = 30 кН q = 15 кН/м

А С В

Рис.4. Исходная расчетная схема

2.1.1. Статическая сторона задачи

Статическая сторона задачи рассматривается планом сил. План сил - это расчетная схема, на которой показаны все силы (и известные, и неизвестные), приложенные к элементу шарнирно-стержневой системы, равновесие которого рассматривается (в нашем случае это жесткая балка АВ). Разрежем стальной и медный стержни и отброшенные их нижние части заменим внутренними усилиями (рис. 5).

P = 30 кН q = 15 кН/м

А С В

60°

			а =2 м
N ст
						В = 4 м

Рис. 5. План сил от внешних нагрузок

Из плана сил (см. рис. 5) записываем уравнения статического равновесия. Для ответа на первый вопрос задачи необходимо знать усилия в стержнях - стальном и медном. Реакцию шарнирно-неподвижной опоры вычислять в данном случае нет необходимости. Поэтому из трёх

возможных уравнений статики (ΣX = 0; ΣY = 0 ; Σm c = 0 ) записываем

такое, в которое не входят реакции шарнирно-неподвижной опоры С:

∑ mC = 0

− N CТ a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0,

− N СТ 2 + 15 2 2 2 + 30 2 − NM 0,866 4 = 0,

После алгебраических действий уравнение равновесия примет вид

NCТ + 1,73NМ = 45.

2.1.2. Геометрическая сторона задачи

Геометрическая сторона задачи рассматривается планом перемещений. План перемещений - это расчётная схема, на которой показано положение шарнирно-стержневой системы до и после нагружения. На плане перемещений указываем перемещения точек балки (АА1 и ВВ1 ),

абсолютные деформации медного и стального стержней (∆ l СТ ; ∆ l М )

(рис. 6). Причём в силу малых деформаций точки балки перемещаем по вертикали вверх или вниз, а деформации наклонных стержней отмечаем перпендикуляром.

						60°
∆ l ст
						∆l м
			4 м

Рис. 6. План перемещений от действия внешних нагрузок

По плану перемещений составляем уравнение совместимости деформаций. В первую очередь запишем соотношение перемещений точек балки из подобия треугольников АА1 С и СВВ1 (рис. 6):

Перемещения точек балки (АА1 и ВВ1 ) выразим через деформации

	стержней (∆ l CТ ; ∆ l М ):
	АА1 = ∆ l СТ
	Из треугольника ВВ1 В2 выразим:
	BB =	B1 B2		∆l М
		sin60o		sin60o .

Выражения (2.3) и (2.4) подставим в соотношение (2.2):

∆ lCТ sin 60o
∆l М

		∆ lCТ 0,866
			∆l М
			0,866 ∆ lСТ =		0,5∆ lМ .
	Это и есть уравнение
			совместимости деформации.

2.1.3. Физическая сторона задачи

Полученное уравнение совместимости деформации (2.5) в таком виде не решается с уравнением равновесия (2.1), потому что входящие в них неизвестные величины разного характера.

Абсолютные деформации ∆ l CТ и ∆ l М в уравнении (2.5) выразим

через усилия в стержнях по закону Гука:

∆l =

N СТ l СТ

NМ lМ

E СТ F СТ

Е М F М

Подставим числовые значения исходных данных, а F СТ выразим

через F М согласно исходным данным:

F СТ

4 ,откуда F СТ = 4 F М = 0,75F М ,

NСТ 1,2

NМ 1,9

и получим

105 0,75 F

1 105 F

После выполнения арифметических действий получим:

0,67NСТ = 0,95NМ .

Получили уравнение совместимости деформаций, записанное через усилия в стержнях.

2.1.4. Синтез

Решим совместно уравнения равновесия (2.1) и уравнение совместимости деформаций (2.6).

NCТ + 1,73NМ = 45

0,67NСТ = 0,95NМ .

Из второго уравнения системы выразим усилие N СТ :

N СТ +		NМ = 1,42NМ

и подставим в первое уравнение системы.

	1,42 NМ +1,73 NМ = 45					3,15 NМ = 45,
		N М =		14,3 кН , тогда		NСТ = 1,42 14,3 = 20,3 кН.

Положительный результат N СТ и N М подтверждает наши предположения сжатия стального стержня и растяжения медного стержня, значит, усилия в стержнях будут:

NСТ = –20,3 кН;

NМ = 14,3 кН.

2.1.5. Подбор поперечных сечений стержней

Подбор поперечных сечений стержней ведется по условию прочности при растяжении – сжатии:

N F ≤ [ σ] .

а) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения стального стержня будет определена:

N СТ

≥ 1,7 10− 4

[ σ СТ ] сж

F СТ

При этом согласно заданному отношению площадей

4 площадь

медного стержня должна быть равна:

4 1,7 10− 4

2,27 10− 4

б) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения медного стержня будет определена:

					≥ 1,7 10	− 4 м 2
		[ σ М ] рас.		84 103

При этом, согласно заданному отношению площадей, площадь стального стержня должна быть равна:

FСТ = 4 3 FМ = 4 3 1,7 10− 4 = 1,275 10− 4 м2 ..

Принимаем большие площади поперечных сечений стержней:

FСТ = 1,7 10− 4 м2 ;

FМ = 2,27 10− 4 м2 .

При принятых площадях поперечных сечений медного и стального стержней определим напряжения в этих стержнях.

			N СТ			− 20,3 10− 3 МН		= − 119,4 МПа,
							1,7 10− 4 м2
			F СТ
		р N М					14,3 10− 3 МН	63 МПа.
	σМ =						2,27 10− 4 м2

2 .2. Температурный расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы

Целью температурного расчета является определение дополнительных напряжений в медном и стальном стержнях от изменения температуры.

Допустим, система нагревается на ∆ t = 20 o C . Алгоритм решения остаётся прежним. Исходная расчетная схема представлена на рис. 7.