Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Видеоурок «Перпендикуляр к прямой» - наглядное пособие, которое может быть использовано на уроке геометрии по данной теме. Видеоурок содержит введение понятия перпендикуляра, а также доказательство теоремы о проведении прямой, перпендикулярной данной.
При помощи видеоурока легче усвоить материал, так как все построения производятся при помощи анимации, имитируя демонстрацию материала учителем при помощи учебной доски. При этом все важные детали выделяются при помощи цвета или специальным курсором. Подробное объяснение, сопровождающее построение, четко и понятно представляет одну из наиболее сложных частей геометрии - доказательство. Видеоурок может стать самостоятельной частью урока, освобождая учителя для индивидуальной работы или сопровождать объяснение.
Вначале видеоурока объявляется название темы «Перпендикуляр к прямой». Построение перпендикуляра начинается с построения точки А и прямой а. Из точки А на прямую а опускается отрезок в точку Н. Указывается, что отрезок АН, опущенный на прямую а, будет называться перпендикуляром, если прямая, проходящая через данный отрезок, будет перпендикулярна прямой а. На рисунке, сопровождающем объяснение, прямой угол, образующийся между данными прямыми, отмечается специальным условным обозначением и при помощи анимации отрезок АН продолжается в прямую. На основании данного утверждения дается определение перпендикуляра как отрезка, являющегося частью прямой, перпендикулярной данной. Определение отображается на экране, выделяя изучаемые понятия красным цветом. Такое представление акцентирует внимание учеников на определении, есть возможность записать его в тетради, легче запомнить. При этом отмечается, что точка Н, в которой пересекаются данные прямые, называется основанием перпендикуляра.
Далее ученикам представляется доказательство важной теоремы, которая поможет решить много геометрических задач и доказать следующие теоремы. Текст теоремы отображается на экране и может быть предложен на запись в тетради учеников. Доказательство теоремы начинается с построения прямой ВС и точки А, не принадлежащей прямой ВС. Первая часть доказательства - то, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС. Для доказательства данного утверждения сначала строится угол ∠МВС, который равен углу ∠АВС, построенному от начала луча ВС. Так как данные углы равны, то при наложении они совпадают. Также совпадают стороны ВА и ВС ∠АВС со сторонами ВМ и ВС угла ∠МВС. При этом точка А накладывается на точку А 1 . Отмечается точка Н, которая является пересечением отрезка АА 1 и прямой ВС. Данное наложение можно интерпретировать как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом полученный в результате построения отрезок АН и является перпендикуляром к прямой Н. А луч НА совмещается с лучом НА 1 . При этом ∠1 - угол пересечения отрезка АН и прямой ВС накладывается на ∠2 - угол пересечения отрезка НА 1 и прямой ВС. При этом углы ∠1 и ∠2 являются смежными. Можно утверждать, что каждый из этих углов прямой, так как сумма смежных углов равна 180°, а так как при пересечении образуются прямые углы, то АН является перпендикуляром прямой ВС. Обозначение перпендикулярных прямых обозначено на экране специальным условным обозначением, выделенным для запоминания.
Вторая часть доказательства посвящена тому, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к ВС. Для этого производится дополнительное построение ниже первого рисунка. Доказательство производится от противного. Предполагается, что из точки А можно провести несколько прямых, перпендикулярных прямой ВС. На рисунке строится, кроме перпендикулярной, еще одна прямая, опущенная из точки А на прямую ВС. Однако получается, что построенная прямая АН 1 будет пересекаться с имеющимся перпендикуляром АН. А это невозможно, поэтому из точки А можно провести только одну прямую, перпендикулярную ВС - это и доказывает теорему.
Видеоурок «Перпендикуляр к прямой» может быть использован учителем для подачи нового материала по данной теме. Также понятное и наглядное доказательство поможет разобраться в новой теме ученику самостоятельно. Материал также может использоваться в дистанционном обучении.
Теорема . Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой .
Доказательство . Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (рис. 56, а ). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a . Мысленно перегнем плоскость по прямой a (рис. 56, б ) так, чтобы полуплоскость с границей a , содержащая точку A , наложилась на другую полуплоскость. При этом точка A наложится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B . Разогнем плоскость и проведем через точки A и B прямую.
Пусть H – точка пересечения прямых AB и a (рис. 56, в ). При повторном перегибании плоскости по прямой a точка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB , и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a . Теорема доказана.
Докажем теперь.
Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой .
Доказательство. Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (см. рис. 56, а ). Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a . Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a (рис. 57). Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a , содержащая точку A , наложилась на другую полуплоскость. При перегибании точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку. Обозначим ее буквой B . При этом отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK .
Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой и также точки A, K и B лежат на одной прямой.
Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK . Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a . Теорема доказана.
Замечание 1. Теоремы о существовании и о единственном перпендикуляре к прямой можно объединить в одну теорему:
из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Замечание 2. Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует, что
две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются.
Предположим, что две прямые, перпендикулярные к прямой a , пересекаются в некоторой точке M . Точка M не может лежать на прямой a , так как в этом случае образуется развернутый угол, больший 180° (рис. 58, а ). Если же точка M не лежит на прямой a (рис. 58, б ), то из точки M будут проведены два перпендикуляра к прямой a , что невозможно. Таким образом, две прямые, перпендикулярные к прямой a , не пересекаются.
На этом уроке мы подробно рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой и докажем важную теорему.
Вначале вспомним определение перпендикулярных прямых. Далее сформулируем и докажем теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей. Далее дадим определение перпендикуляра к прямой, сформулируем и докажем важную теорему о том, что из любой произвольной точки можно провести единственный перпендикуляр к заданной прямой.
В конце решим несколько задач на пройденную тему.
Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
Рис. 1. Перпендикулярные прямые
АС⊥ВD, поскольку четыре угла по 90°. Напомним также, что при пересечении любых прямых образуются четыре угла: 2 вертикальных, которые равны между собой, еще пара равных вертикальных углов. a и b - смежные углы. И по теореме о смежных углах a + b = 180°.
Рис. 2. Пересечение прямых
В единственном случае a = b = 90°. В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.
Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
Рис. 3. Чертеж к теореме 1
Отсюда следует, что AA 1 и BB 1 не имеют общих точек. Прямые AA 1 и BB 1 можно продлить бесконечно, но при этом они не пересекутся. В этом заключается смысл теоремы.
Определение: Пусть прямые АН и a перпендикулярны. Мы знаем, что чтобы все четыре угла при этих прямых были по 90°, необходимо, чтобы один из них был прямым. Отрезок АН называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и a перпендикулярны . При этом точка Н называется основанием перпендикуляра.
Рис. 4. Чертеж к определению перпендикуляра
В данном случае перпендикуляр - это отрезок. Значит, перпендикуляр к прямой - это отрезок.
Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Рис. 5. Чертеж к теореме 2
Существует множество точек, которые не лежат на прямой a. Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.
Дано: точка А не принадлежит прямой a.
Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН.
Доказательство:
1. Проведем 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.
2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A 1 . ВА = ВA 1 (перегибание по прямой ВС).
3. Соединим точки А и A 1 . Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA 1 = ∠4.
4.
Следовательно, треугольники ВНА = ВНA 1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН^ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.
Рис. 6. Чертеж к доказательству теоремы 2(1)
Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».
5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.
АН ⊥ a, АH 1 ⊥ a.
Рис. 7. Чертеж к доказательству единственности перпендикуляра
Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a.
Пример 1: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры АВ и СD к прямой a равны.
1. Докажите, что АВD = ∠CDВ.
2. Найдите ∠АВС, если ∠АDВ = 44°.
Дано: А) АВ⊥ a, CD ⊥ a.
Доказать: ∠ADB = ∠CDB.
Доказательство:
Рис. 8. Чертеж к примеру 1(а)
Доказательство основано на понятии перпендикуляра из точки к прямой. Отсюда следует, что ADB = CDB, что и требовалось доказать.
Дано: Б) АВ⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Найти ∠АВС.
Доказательство:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 9. Чертеж к примеру 1(б)
1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD - общая, ∠ABD = ∠CDB). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. AD = CB.
2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. Поскольку эти углы лежат против равных сторон AB и CD соответственно.
3. ∠АВС = 90° - 44° = 46°
Ответ: 46°.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие перпендикуляра к прямой и доказали теорему об этом перпендикуляре. На следующем уроке мы познакомимся с медианой, биссектрисой, высотой треугольника.
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. - М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
- Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
- Прямая линия, отрезок ().
1. №13(б). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
2. Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найдите эти углы.
3. Прямые BH и AH взаимно перпендикулярны и ∠BHM = ∠AHC. Докажите, что НМ⊥НС.
4. № 14(г). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
